गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान को उड़ान भरने के लिए 300 km/h की चाल चाहिए और उपयोगी रनवे 2200 m लंबा है। विराम से शुरू करते हुए, उसे कितना स्थिर त्वरण a चाहिए?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 2200 m

a = m/s²

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 10 s तक 3 m/s² से त्वरित होती है, फिर 12 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 2 m/s² से ब्रेक लगाती है। कुल यात्रा समय t ज्ञात कीजिए।

a₁ = 3 m/s²t₁ = 10 st₂ = 12 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

9 kg और 5.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 9 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

25° पर झुके रैंप पर एक 4.5 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 4 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4.5 kgm₂ = 4 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 50° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 25 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 50°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 38 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 30 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sθ = 50°h_roof = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

मेले के एक रोटर में सवार 1.6 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर बेलन की दीवार से सटकर खड़े होते हैं। जब यह पर्याप्त तेज़ घूमता है तो फ़र्श नीचे हट जाता है और घर्षण उन्हें थामे रखता है। स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। न्यूनतम कोणीय चाल ω rad/s में ज्ञात कीजिए।

r = 1.6 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.9 m लंबी हल्की डोरी पर एक 1.4 kg गेंद को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। निम्नतम बिंदु पर इसकी चाल 9 m/s है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव T_top ज्ञात कीजिए।

m = 1.4 kgr = 0.9 mv_bottom = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान के साथ 7 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.1d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 4000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

23 m/s से चल रही एक 1200 kg कार खड़ी 700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1200 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 20 g गोली 1.1 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 2.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 15° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 2.5 kgL = 1.1 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

9 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 700 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 40 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। रुकने से पहले गतिपालक चक्र कितने चक्कर N लगाता है?

I = 9 kg·m²n = 700 rpmT_b = 40 N·m

N = rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक खोखला गोला क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। इसके केंद्र का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

θ = 40°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर चल रही एक 7.5 kW मोटर 24 दाँतों और 2.5 mm मॉड्यूल वाले पिनियन को चलाती है। पिनियन के दाँतों पर स्पर्शरेखीय बल F_t ज्ञात कीजिए।

P = 7.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 2.5 mm

F_t = N

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 300 mm की घिरनी को 100 mm की चालक घिरनी से, जो 960 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 800 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.35 है और कसी हुई ओर का तनाव 800 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 300 mmC = 800 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

3 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 470 N/m वाले स्प्रिंग पर 0.7 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 13 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 0.7 kgk = 470 N/mA = 13 cm

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 12 mm के विस्थापन शिखर के 5 चक्र बाद 6.4 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 12 mmx₅ = 6.4 mmn = 5

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 60 kN/m और k₂ = 12 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: a = 1.578 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

त्वरण

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·2200) = 1.578 m/s²

उत्तर

a = 1.578 m/s²

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 37 s

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 3·10 = 30 m/s

ब्रेकिंग समय

t₃ = v/a₃ = 30/2 = 15 s

कुल समय

t = 10 + 12 + 15 = 37 s

उत्तर

t = 37 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.368 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (9 − 5.5)·9.81/(9 + 5.5) = 2.368 m/s²

उत्तर

a = 2.368 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.951 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 18.66 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.001 N

निकाय का त्वरण

a = (39.24 − 18.66 − 4.001)/8.5 = 1.951 m/s²

उत्तर

a = 1.951 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 15.78 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 100°) = 15.78 m/s

उत्तर

v₀ = 15.78 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 112.5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 24.43 m/s, v_y = 29.11 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

30 = 29.11·t − 4.905·t²

t = (29.11 + √(29.11² − 2·9.81·30))/9.81 = 4.607 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 24.43·4.607 = 112.5 m

उत्तर

x = 112.5 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: ω = 3.915 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

सवार पर बल

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

कोणीय चाल

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·1.6)) = 3.915 rad/s

उत्तर

ω = 3.915 rad/s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T_top = 57.33 N

शीर्ष पर चाल

2r ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है।

v_top² = 9² − 4·9.81·0.9 = 45.68 m²/s²

शीर्ष पर बल

तनाव और गुरुत्व दोनों नीचे, केंद्र की ओर हैं।

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·45.68/0.9 − 1.4·9.81 = 57.33 N

उत्तर

T_top = 57.33 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 7.535 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.5 − 0.1·0.866)) = 7.535 m/s

उत्तर

v = 7.535 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 13.45 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.15·3.5) = 36.17 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 36.17 → x = √(2·36.17/4000) = 0.1345 m = 13.45 cm

उत्तर

x = 13.45 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 116937 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·23/1900 = 14.53 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1200·23² = 317400 J

K_after = ½·1900·14.53² = 200463 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 317400 − 200463 = 116937 J

उत्तर

ΔK = 116937 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 108.1 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 15°) = 0.03748 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.03748) = 0.8575 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 2.52·0.8575/0.02 = 108.1 m/s

उत्तर

v = 108.1 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: N = 96.21 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·700/60 = 73.3 rad/s

ब्रेक का कार्य गतिज ऊर्जा के बराबर है

½·I·ω² = ½·9·73.3² = 24181 J

θ = 24181/40 = 604.5 rad

चक्कर

N = θ/2π = 96.21 rev

उत्तर

N = 96.21 rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: a = 3.783 m/s²

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गति के समीकरण

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

त्वरण

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 40°/1.667 = 3.783 m/s²

उत्तर

a = 3.783 m/s²

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: F_t = 1658 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

पिनियन पर बलाघूर्ण

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 7500/150.8 = 49.74 N·m

पिच व्यास

d = m·N = 2.5·24 = 60 mm

स्पर्शरेखीय बल

F_t = 2T/d = 2·49.74/0.06 = 1658 N

उत्तर

F_t = 1658 N

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 2.559 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.891 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^1.012 = 2.751, T₂ = 800/2.751 = 290.8 N

शक्ति

P = (800 − 290.8)·5.027 = 2.559 kW

उत्तर

P = 2.559 kW

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 2.236 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

उत्तर

L = 2.236 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 3.369 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(470/0.7) = 25.91 rad/s

अधिकतम चाल

v_max = A·ω = 0.13·25.91 = 3.369 m/s

उत्तर

v_max = 3.369 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.02001

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/5)·ln(12/6.4) = 0.1257

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1257/√(39.48 + 0.01581) = 0.02001

उत्तर

ζ = 0.02001

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 8.541 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 60 + 12 = 72 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(72000/25) = 53.67 rad/s

f_n = 53.67/(2π) = 8.541 Hz

उत्तर

f_n = 8.541 Hz

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