गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 33 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 5.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 33 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 1.5 s तक 34 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

a = 34 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

11 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 11 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 20° के रैंप पर 6.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 6.5 m/sθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 22 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

मेले के एक रोटर में सवार 3.1 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर बेलन की दीवार से सटकर खड़े होते हैं। जब यह पर्याप्त तेज़ घूमता है तो फ़र्श नीचे हट जाता है और घर्षण उन्हें थामे रखता है। स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। न्यूनतम घूर्णन दर n चक्कर प्रति मिनट में ज्ञात कीजिए।

r = 3.1 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.9 m लंबी हल्की डोरी पर एक 1 kg गेंद को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। निम्नतम बिंदु पर इसकी चाल 10 m/s है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव T_top ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgr = 0.9 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 0.2 kg गेंद 3 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 90° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgL = 3 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

36 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 19 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 1 kg टुकड़ा 91 m/s से आगे चलता रहता है। 18 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 19 kgu = 36 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 91 m/sm₂ = 18 kg

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 18 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1900 kg कार 21 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1000 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1900 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक 14 kg गुटका एक घिरनी पर लिपटी हल्की डोरी से लटका है; घिरनी 8.5 kg द्रव्यमान और 0.4 m त्रिज्या की एकसमान ठोस डिस्क है जो एक घर्षणरहित क्षैतिज धुरे पर घूमती है। गुटके को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 14 kgM = 8.5 kgR = 0.4 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

20 kg द्रव्यमान का एक पतला वलय 1 m/s से बिना फिसले लुढ़कता है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत p घूर्णी है?

m = 20 kgv = 1 m/sI = m·r²

p = %

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

3 स्टार्ट वाला एक वर्म 1450 rpm पर घूमता है और 30 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 3N_w = 30n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

2900 rpm पर एक 2.2 kW मोटर गियर A (16 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (24 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (24 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (50 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 95% है। निर्गम बलाघूर्ण T_out ज्ञात कीजिए।

P = 2.2 kWn_in = 2900 rpmA = 16B = 24C = 24D = 50η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

2.3 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 2.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 280 N/m वाले स्प्रिंग पर 3.7 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 20 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 3.7 kgk = 280 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 25 mm के विस्थापन शिखर के एक चक्र बाद 13.3 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 25 mmx₁ = 13.3 mmn = 1

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 5 kN/m और k₂ = 10 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 12 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/5.5 = 12 s

उत्तर

t = 12 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 66 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 170.8 m

संचालित चरण

v₁ = 34·1.5 = 51 m/s

h₁ = ½·34·1.5² = 38.25 m

ऊपर की ओर मुक्त उड़ान

शीर्ष पर वेग शून्य है।

Δh = v₁²/(2g) = 51²/(2·9.81) = 132.6 m

h_max = 38.25 + 132.6 = 170.8 m

उत्तर

h_max = 170.8 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 6.243 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

उत्तर

a = 6.243 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 4.459 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 20° + 0.15·cos 20°) = 4.738 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·4.738) = 4.459 m

उत्तर

d = 4.459 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 24.52 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 55° = 9.177 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 55° = 13.11 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·13.11/9.81 = 2.672 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 9.177·2.672 = 24.52 m

उत्तर

x = 24.52 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 88.64 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 30° = 19.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 55 + 11·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11 + √(121 + 1079))/9.81 = 4.653 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 19.05·4.653 = 88.64 m

उत्तर

x = 88.64 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: n = 26.86 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

सवार पर बल

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

कोणीय चाल

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·3.1)) = 2.813 rad/s

घूर्णन दर

n = ω·60/(2π) = 26.86 rpm

उत्तर

n = 26.86 rpm

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T_top = 62.06 N

शीर्ष पर चाल

2r ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है।

v_top² = 10² − 4·9.81·0.9 = 64.68 m²/s²

शीर्ष पर बल

तनाव और गुरुत्व दोनों नीचे, केंद्र की ओर हैं।

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·64.68/0.9 − 1·9.81 = 62.06 N

उत्तर

T_top = 62.06 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 5.886 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 90°) = 58.86 m²/s²

तल पर बल

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·58.86/3 = 5.886 N

उत्तर

T = 5.886 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 5.886 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 45.93 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(3.5 − 0.3·4.5) = 105.5 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 105.5 → x = √(2·105.5/1000) = 0.4593 m = 45.93 cm

उत्तर

x = 45.93 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 32.94 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 19·36 = 684 kg·m/s

बाद का संवेग

684 = 1·91 + 18·v′₂

v′₂ = (684 − 91)/18 = 32.94 m/s

उत्तर

v′₂ = 32.94 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 13.84 m/s

संवेग घटक

p_x = 1900·18 = 34200 kg·m/s

p_y = 1000·21 = 21000 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40133/2900 = 13.84 m/s

उत्तर

v′ = 13.84 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: a = 7.525 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

गुटका और घिरनी

गुटका: m·g − T = m·a

घिरनी: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

त्वरण

a = m·g/(m + M/2) = 14·9.81/(14 + 4.25) = 7.525 m/s²

उत्तर

a = 7.525 m/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: p = 50 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

स्थानांतरीय और घूर्णी भाग

E_trans = ½·m·v² = ½·20·1² = 10 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·10 = 10 J

घूर्णी हिस्सा

p = 10/20·100% = c/(1 + c)·100% = 50%

उत्तर

p = 50 %

हिस्सा केवल आकृति पर निर्भर करता है, द्रव्यमान या चाल पर नहीं।

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 145 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1450·3/30 = 145 rpm

उत्तर

n_w = 145 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_out = 20.43 N·m

निर्गत चाल

n_out = 2900·(16/24)·(24/50) = 928 rpm

ω_out = 2π·928/60 = 97.18 rad/s

निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण

P_out = 2200·0.95² = 1986 W

T_out = P_out/ω_out = 1986/97.18 = 20.43 N·m

उत्तर

T_out = 20.43 N·m

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 1.315 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.3/2π)² = 1.315 m

उत्तर

L = 1.315 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 1.74 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(280/3.7) = 8.699 rad/s

अधिकतम चाल

v_max = A·ω = 0.2·8.699 = 1.74 m/s

उत्तर

v_max = 1.74 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.09994

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/1)·ln(25/13.3) = 0.6311

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6311/√(39.48 + 0.3983) = 0.09994

उत्तर

ζ = 0.09994

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 15 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

उत्तर

k_eq = 15 kN/m

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