गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

80 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 13 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 13 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 5 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 35° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 2.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 15° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 105 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 15°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक 1200 kg कार 6 m/s से सड़क के एक उभार के शीर्ष पर से गुज़रती है। उभार का शीर्ष 25 m त्रिज्या का वृत्तीय चाप है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर सड़क द्वारा कार पर अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 1200 kgv = 6 m/sr = 25 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.वृत्तीय गतिकठिन

260 m त्रिज्या का एक मोड़ 15° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 260 mθ = 15°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 60 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.7 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 60 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

11 m/s से चल रहा 1.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 3 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.4 kg की एक गेंद 30 m/s से दीवार से टकराती है और 4 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgv_in = 30 m/sv_out = 4 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

15 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 400 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 60 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। रुकने से पहले गतिपालक चक्र कितने चक्कर N लगाता है?

I = 15 kg·m²n = 400 rpmT_b = 60 N·m

N = rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक पतला वलय विराम से शुरू होकर क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। इसकी त्रिज्या 0.2 m है। ढलान के साथ 3 m लुढ़कने के बाद इसका कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

θ = 20°s = 3 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.2 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1500 rpm पर चल रही एक 5.5 kW मोटर 20 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 24 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 5.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 100%

T₂ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 18 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 24 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 1200 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल n_r (परिमाण) ज्ञात कीजिए।

N_s = 18N_p = 24n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

किसी अन्य ग्रह पर एक अंतरिक्ष यात्री पाता है कि 0.5 m लंबे सरल लोलक का छोटे दोलनों के लिए आवर्तकाल 0.89 s है। उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g ज्ञात कीजिए।

L = 0.5 mT = 0.89 s

g = m/s²

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 180 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 0.4 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgk = 180 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 40 kg द्रव्यमान 150 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 1470 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 1470 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 5 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 5 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 60 kN/m और k₂ = 40 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 49.38 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5) = 49.38 m

उत्तर

s = 49.38 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 33.61 m

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9.81) = 8.614 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 25 + 8.614 = 33.61 m

उत्तर

h_max = 33.61 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 38.18 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 28.13 + 10.04 = 38.18 N

उत्तर

F = 38.18 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 18.92 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 4.905)/7 = 5.606 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·5.606 + 4.905 = 18.92 N

उत्तर

T = 18.92 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 45.39 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 30°) = 45.39 m/s

उत्तर

v₀ = 45.39 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 85.56 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24.25 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 35 + 24.25·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.25 + √(588 + 686.7))/9.81 = 6.111 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 14·6.111 = 85.56 m

उत्तर

x = 85.56 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: N = 10044 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

शीर्ष पर बल

केंद्र की ओर (नीचे) धनात्मक है।

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9.81 − 1200·6²/25 = 11772 − 1728 = 10044 N

उत्तर

N = 10044 N

कार हल्की महसूस होती है: सड़क उसके भार से कम ऊपर धकेलती है।

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 37.63 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(260·9.81·0.5003/0.9012) = 37.63 m/s

उत्तर

v_max = 37.63 m/s

(135.5 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 20.23 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.7·9.81) = 20.23 m

उत्तर

d = 20.23 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 24.26 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(3 − 0.3·5) = 14.71 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 14.71 → x = √(2·14.71/500) = 0.2426 m = 24.26 cm

उत्तर

x = 24.26 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 7.333 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·11 = −3.667 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·11 = 7.333 m/s

उत्तर

v′₂ = 7.333 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 340 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.4·(4 + 30) = 13.6 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 13.6/0.04 = 340 N

उत्तर

F_avg = 340 N

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: N = 34.91 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·400/60 = 41.89 rad/s

ब्रेक का कार्य गतिज ऊर्जा के बराबर है

½·I·ω² = ½·15·41.89² = 13159 J

θ = 13159/60 = 219.3 rad

चक्कर

N = θ/2π = 34.91 rev

उत्तर

N = 34.91 rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 15.86 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गिरी हुई ऊँचाई

h = s·sin θ = 3·sin 20° = 1.026 m

लुढ़कने के साथ ऊर्जा संतुलन

बिना फिसले लुढ़कना: ω = v/r, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता।

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·1.026/2) = 3.173 m/s

ω = v/r = 3.173/0.2 = 15.86 rad/s

उत्तर

ω = 15.86 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 42.02 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 35.01·24/20·1 = 42.02 N·m

उत्तर

T₂ = 42.02 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_r = 327.3 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·24 = 66

कैरियर स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_c = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·18/66 = −327.3 rpm

|n_r| = 327.3 rpm

उत्तर

n_r = 327.3 rpm

रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: g = 24.92 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g के लिए हल करें

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.5/0.89² = 24.92 m/s²

उत्तर

g = 24.92 m/s²

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 0.4624 m/s

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 0.4·9.81/180 = 0.0218 m = A

अधिकतम चाल

चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।

ω = √(180/0.4) = 21.21 rad/s

v_max = A·ω = 0.0218·21.21 = 0.4624 m/s

उत्तर

v_max = 0.4624 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.3001

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 1470/4899 = 0.3001

उत्तर

ζ = 0.3001

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 4.912 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 60 + 40 = 100 kN/m

k_eq = 100·5/(100 + 5) = 4.762 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(4762/5) = 30.86 rad/s

f_n = 30.86/(2π) = 4.912 Hz

उत्तर

f_n = 4.912 Hz

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