सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 2.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1200 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 5 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।
एक 30 kg स्लेज को क्षैतिज से 35° ऊपर एक रस्सी से 170 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
क्षैतिज मेज़ पर रखा 9 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 0.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। मेज़ घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 60° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 50 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v0 ज्ञात कीजिए।
एक 5 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 29 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।
0.5 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 25° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। गेंद की चाल v ज्ञात कीजिए।
एक 4.5 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 1.55 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 0.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल Ntop ज्ञात कीजिए।
समतल सड़क पर 40 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.5 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।
10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।
8 m/s से चल रहा 3.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′1 ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।
एक 900 kg कार एक खड़ी 2000 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 5.5 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.75 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v1 ज्ञात कीजिए।
5.5 kg द्रव्यमान और 2.1 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद इसका कोणीय त्वरण α ज्ञात कीजिए।
एक व्यक्ति घर्षणरहित घूर्णी मेज़ पर खड़ा है और हर हाथ में अक्ष से 0.9 m पर एक 4.5 kg डम्बल पकड़े है। केवल व्यक्ति और मेज़ का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण 4 kg·m² है। वे 30 rpm पर घूमते हैं, फिर डम्बलों को अक्ष से 0.15 m तक अंदर खींच लेते हैं। डम्बलों को बिंदु द्रव्यमान मानें। नई चाल n2 rpm में ज्ञात कीजिए।
200 mm की घिरनी 1450 rpm पर पट्टे से 400 mm की घिरनी को 4 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n2 ज्ञात कीजिए।
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 3000 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (20 दाँत) को चलाता है। गियर C (15 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (18 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
k = 400 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.6 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 6 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.45 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।
k = 130 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.6 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 9 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण amax ज्ञात कीजिए।
एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 50 mm के विस्थापन शिखर के 3 चक्र बाद 19.5 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
एक 50 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 10 kN/m और निचला k₂ = 15 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
उत्तर: v = 77.46 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
उत्तर: d = 107.7 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: a = 3.986 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
उत्तर: T = 4.647 N
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
उत्तर: v0 = 23.8 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
उत्तर: H = 30.15 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
उत्तर: v = 0.9832 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।
उत्तर: Ntop = 52.97 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
केंद्र की ओर धनात्मक है।
उत्तर: d = 12.58 m
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।
उत्तर: x = 134.4 cm
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।
उत्तर: v′1 = −1.412 m/s
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।
ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।
उत्तर: v1 = 28.99 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
उत्तर: α = 7.007 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।
उत्तर: n2 = 80.59 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
गतिज ऊर्जा बढ़ती है: अतिरिक्त ऊर्जा उस कार्य से आती है जो व्यक्ति डम्बल अंदर खींचने में करता है।
उत्तर: n2 = 696 rpm
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
उत्तर: nout = 1500 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
कुल अनुपात = 2 : 1
उत्तर: x = 4.041 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: amax = 4.5 m/s²
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: ζ = 0.04989
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
उत्तर: fn = 1.743 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
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