गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

54 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.9 s है, जिसके बाद कार 4 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 54 km/ht_r = 0.9 sa = −4 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 11 s तक 2.5 m/s² से त्वरित होती है, फिर 13 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 2.5 m/s² से ब्रेक लगाती है। कुल यात्रा समय t ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 13 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 30 kg स्लेज को क्षैतिज से 25° ऊपर एक रस्सी से 90 N के बल से समतल बर्फ़ पर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। स्लेज का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 30 kgF = 90 Nθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 30 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 10 kg गुटके को खींचता है; 1 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 10 kgF = 30 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 145 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 40°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 15 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 120 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 120 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.3 m लंबी डोरी से बँधी 1.6 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 7.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.6 kgr = 1.3 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 60 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.6 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 60 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 20 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 4.5 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 4 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 4.5 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 8 g गोली 0.9 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 1.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 10° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 8 gM = 1.5 kgL = 0.9 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

8.5 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 1900 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 125 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। इसे रुकने में कितना समय t लगता है?

I = 8.5 kg·m²n = 1900 rpmT_b = 125 N·m

t = s

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक ठोस बेलन क्षैतिज से 10° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। यह विराम से शुरू होता है। ढलान पर 7.5 m नीचे लुढ़कने में इसे कितना समय t लगता है?

θ = 10°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²s = 7.5 m

t = s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

4 स्टार्ट वाला एक वर्म 960 rpm पर घूमता है और 80 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 4N_w = 80n = 960 rpm

n_w = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 200 mm की घिरनी को 160 mm की चालक घिरनी से, जो 1440 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 600 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.35 है और कसी हुई ओर का तनाव 800 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 170 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 2.2 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 10 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.2 s पर उसका वेग v (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 2.2 kgk = 170 N/mA = 10 cmt = 0.2 s

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 220 N/m वाले स्प्रिंग पर 1.9 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 16 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण a_max ज्ञात कीजिए।

m = 1.9 kgk = 220 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 25 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 15.1 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 25 mmx₂ = 15.1 mmn = 2

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 80 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 50 kN/m और k₂ = 10 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 41.63 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 15·0.9 = 13.5 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·4) = 28.13 m

कुल

d = 13.5 + 28.13 = 41.63 m

उत्तर

d = 41.63 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 35 s

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2.5·11 = 27.5 m/s

ब्रेकिंग समय

t₃ = v/a₃ = 27.5/2.5 = 11 s

कुल समय

t = 11 + 13 + 11 = 35 s

उत्तर

t = 35 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.865 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

अभिलंब बल

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 90·sin 25° = 256.3 N

क्षैतिज बल

m·a = F·cos θ − μ·N = 81.57 − 25.63

a = 55.94/30 = 1.865 m/s²

उत्तर

a = 1.865 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 2.727 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 10.79)/11 = 1.746 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(1.746 + 0.981) = 2.727 N

उत्तर

T = 2.727 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 38.01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 80°) = 38.01 m/s

उत्तर

v₀ = 38.01 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 4.068 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 45° = 16.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 45° = 16.26 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 15 + 16.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.26 + √(264.5 + 294.3))/9.81 = 4.068 s

उत्तर

t = 4.068 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 28.71 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·120) = 28.71 m/s

उत्तर

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 84.93 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·7.5²/1.3 = 15.7 + 69.23 = 84.93 N

उत्तर

T = 84.93 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 23.6 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.6·9.81) = 23.6 m

उत्तर

d = 23.6 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.429 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(2 − 0.25·4) = 49.05 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

उत्तर

v = 4.429 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 200.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 4.5)·0.8859/0.02 = 200.2 m/s

उत्तर

v = 200.2 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 97.63 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 10°) = 0.01367 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.01367) = 0.5179 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 1.508·0.5179/0.008 = 97.63 m/s

उत्तर

v = 97.63 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: t = 13.53 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

मंदन और समय

α = T_b/I = 125/8.5 = 14.71 rad/s²

t = ω/α = 199/14.71 = 13.53 s

उत्तर

t = 13.53 s

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: t = 3.634 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गति के समीकरण

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

त्वरण

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.5 = 1.136 m/s²

समय

s = ½·a·t² → t = √(2·7.5/1.136) = 3.634 s

उत्तर

t = 3.634 s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 48 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 960·4/80 = 48 rpm

उत्तर

n_w = 48 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 6.361 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 3.075 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^1.076 = 2.934, T₂ = 800/2.934 = 272.7 N

शक्ति

P = (800 − 272.7)·12.06 = 6.361 kW

उत्तर

P = 6.361 kW

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = −0.8637 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(170/2.2) = 8.79 rad/s

ω·t = 8.79·0.2 = 1.758 rad

वेग

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.1·8.79·sin(1.758) = −0.8637 m/s

उत्तर

v = −0.8637 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: a_max = 18.53 m/s²

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

कोणीय आवृत्ति

ω = √(220/1.9) = 10.76 rad/s

अधिकतम त्वरण

a_max = A·ω² = 0.16·10.76² = 18.53 m/s²

उत्तर

a_max = 18.53 m/s²

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.04009

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/2)·ln(25/15.1) = 0.2521

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2521/√(39.48 + 0.06355) = 0.04009

उत्तर

ζ = 0.04009

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 5.894 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 50 + 10 = 60 kN/m

k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34.29 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(34286/25) = 37.03 rad/s

f_n = 37.03/(2π) = 5.894 Hz

उत्तर

f_n = 5.894 Hz

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