आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का धारा नियम: ΣI_in = ΣI_out
शाखा धारा: I = (V_a − V_b)/R
संदर्भ नोड: V_ground = 0

विधि

एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
हर शाखा धारा को (V_a − V_b)/R के रूप में व्यक्त करें।
समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
धारा अनुपात: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
निर्धारित धारा: I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा: Z₁′ = a²·Z_L
आंशिक भार पर ताम्र हानि: P_cu = x²·P_cu,fl
दक्षता: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
अधिकतम दक्षता: x = √(P_core/P_cu,fl)

2अभ्यास प्रश्न

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत V₁ द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध R_eq ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 36 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

3.नोडल विश्लेषणमध्यम

नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R₁ से होकर धारा I_R1 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.नोडल विश्लेषणकठिन

हीरा-आकृति एक वोल्टता-नियंत्रित धारा स्रोत है जो 0.1·V_A की धारा (A में, V_A को V में लेकर) ऊपर नोड B में धकेलता है। नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R₄ से होकर धारा I_R4 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ωg = 0.1 A/V

I_R4 = A

5.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

a–b के बीच भार R_L = 2 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

6.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 20 Ω जुड़ा है। थेवेनिन समतुल्य से भार को दी गई शक्ति P_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 20 Ω

P_L = W

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 5 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 20 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 4 V है। v_C को 8.8 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 VR = 2.2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

I = A

11.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक प्रेरकीय भार 120 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से 7 A और 504 W लेता है। इसे प्रतिघात X के साथ श्रेणी में एक प्रतिरोध R के रूप में मॉडल करें। R ज्ञात कीजिए।

V = 120 VI = 7 AP = 504 W

R = Ω

12.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 240 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.75 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 19 kW लेता है। भार के समांतर में एक 330 µF संधारित्र जोड़ा जाता है। नई लाइन धारा I ज्ञात कीजिए।

P = 19 kWpf₁ = 0.75V = 240 Vf = 60 HzC = 330 µF

I = A

13.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

प्रति फ़ेज़ 5 + j12 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Y-संयोजित भार 480 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 480 VZ = 5 + j12 Ω प्रति फ़ेज़

P = kW

14.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 250 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.9 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति Q_C kvar में ज्ञात कीजिए।

P = 250 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

15.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम

400 Ω निर्गत प्रतिरोध वाला एक प्रवर्धक एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर के माध्यम से 16 Ω के लाउडस्पीकर को चलाता है। अधिकतम शक्ति अंतरण के लिए लाउडस्पीकर प्रवर्धक से 400 Ω जैसा दिखना चाहिए। फेरा अनुपात a = N₁/N₂ ज्ञात कीजिए।

R_s = 400 ΩR_L = 16 Ω

a =

16.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन

एक एकल-फ़ेज़ 100 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 600 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 900 W है। यह 0.85 पश्चगामी शक्ति गुणक पर अपने निर्धारित kVA का 25% देता है। इस भार पर कुल हानियाँ P_loss वाट में ज्ञात कीजिए।

S = 100 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 900 Wx = 0.25pf = 0.85

P_loss = W

3विलयन

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: R_eq = 22 Ω

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_eq = R₁ + 2 = 20 + 2 = 22 Ω

उत्तर

R_eq = 22 Ω

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 1.722 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 2 + 3 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 3.75 Ω

R₃ + 3.75 = 9.75 Ω

R₂ ∥ 9.75 = 5.909 Ω

R_eq = R₁ + 5.909 = 15 + 5.909 = 20.91 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 36/20.91 = 1.722 A

उत्तर

I_R1 = 1.722 A

3.नोडल विश्लेषण

उत्तर: I_R1 = 1.564 A

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V₁ = 18 V)। अज्ञात: V_A, V_B।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 18)/10 + (V_A − V_B)/2 = 0

0.65·V_A − 0.5·V_B = 1.8

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/2 = (−1.5)

−0.5·V_A + 0.6·V_B = −1.5

हल करें

Δ = (0.65)(0.6) − (−0.5)(−0.5) = 0.14

V_A = Δ₁/Δ = 0.33/0.14 = 2.357 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.075/0.14 = −0.5357 V

उत्तर

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (18 − 2.357)/10 = 1.564 A

4.नोडल विश्लेषण

उत्तर: I_R4 = 0.5769 A

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में धकेली गई धारा के बराबर हैं।

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.2417·V_A − 0.05·V_B = 1

नोड B पर KCL

आश्रित स्रोत g·V_A को नोड B में धकेलता है। इसे स्वतंत्र स्रोत की तरह मानें, फिर V_A पद को बाईं ओर ले जाएँ।

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.1·V_A

−0.15·V_A + 0.3·V_B = 0

हल करें

Δ = (0.2417)(0.3) − (−0.05)(−0.15) = 0.065

V_A = Δ₁/Δ = 0.3/0.065 = 4.615 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.15/0.065 = 2.308 V

R₄ से होकर धारा

I_R4 = V_B/R₄ = 2.308/4 = 0.5769 A

उत्तर

I_R4 = 0.5769 A

5.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = 0.6102 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.429 + 3 = 6.429 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·6/(8+6) = 5.143 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5.143/(6.429 + 2) = 0.6102 A

6.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: P_L = 143.5 W

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 30 = 33.75 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 4·3.75 = 24 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 24 + 4·30 = 144 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 144/(33.75 + 20) = 2.679 A

P_L = I_L²·R_L = 2.679²·20 = 143.5 W

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.8216 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms

i(∞) = V_s/R = 20/22 = 0.9091 A

दिए गए समय पर धारा

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.9091·(1 − e^−5/2.136) = 0.8216 A

उत्तर

i = 0.8216 A

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 354.1 ms

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 10 + (4 − 10)·e^−t/τ

समय के लिए हल करें

8.8 = 10 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8.8 − 10)/(4 − 10) = 0.2

t = τ·ln((4 − 10)/(8.8 − 10)) = 220·ln(5) = 354.1 ms

उत्तर

t = 354.1 ms

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = 79.67 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (54.87)²) = 55.78 Ω

कलान्तर कोण

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(54.87/10) = 79.67°

उत्तर

φ = 79.67°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.06931 A

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·2.2·10⁻⁶) = 1447 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−1441)²) = 1443 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 100/1443 = 0.06931 A

उत्तर

I = 0.06931 A

11.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: R = 10.29 Ω

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

सक्रिय शक्ति से प्रतिरोध

R = P/I² = 504/7² = 10.29 Ω

उत्तर

R = 10.29 Ω

12.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I = 88.68 A

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = 19·tan(arccos 0.75) = 16.76 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·330·10⁻⁶ = 7166 var = 7.166 kvar

Q₂ = 16.76 − 7.166 = 9.591 kvar

नई आभासी शक्ति

S₂ = √(19² + 9.591²) = 21.28 kVA

नई लाइन धारा

I = S₂/V = 21283/240 = 88.68 A

उत्तर

I = 88.68 A

13.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 6.817 kW

फ़ेज़ वोल्टता

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

फ़ेज़ धारा

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 277.1/13 = 21.32 A

कुल वास्तविक शक्ति

हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।

P = 3·I_ph²·R = 3·21.32²·5 = 6.817 kW

उत्तर

P = 6.817 kW

जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.3846, और √3·V_L·I_L·cos φ से वही शक्ति मिलती है।

14.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: Q_C = 66.42 kvar

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 66.42 kvar

उत्तर

Q_C = 66.42 kvar

15.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: a = 5

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

स्थानांतरित भार का मिलान करें

a²·16 = 400

a = √(400/16) = √25 = 5

उत्तर

a = 5

16.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: P_loss = 656.3 W

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·P_cu,fl होती है। दक्षता η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), जहाँ P_out = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

इस भार पर ताम्र हानि

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.0625·900 = 56.25 W

कुल हानियाँ

क्रोड हानि किसी भी भार पर समान रहती है।

P_loss = 600 + 56.25 = 656.3 W

उत्तर

P_loss = 656.3 W

इस भार पर दक्षता η = 97% है।

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आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

विधि

नोडल विश्लेषण

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

ट्रांसफ़ॉर्मर

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

उत्तर

नोड तय करें

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

उत्तर

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

R₄ से होकर धारा

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

दिए गए समय पर धारा

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

समय के लिए हल करें

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

कलान्तर कोण

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

उत्तर

सक्रिय शक्ति से प्रतिरोध

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

नई आभासी शक्ति

नई लाइन धारा

उत्तर

फ़ेज़ वोल्टता

फ़ेज़ धारा

कुल वास्तविक शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

स्थानांतरित भार का मिलान करें

उत्तर

इस भार पर ताम्र हानि

कुल हानियाँ

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें