आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का धारा नियम: ΣI_in = ΣI_out
शाखा धारा: I = (V_a − V_b)/R
संदर्भ नोड: V_ground = 0

विधि

एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
हर शाखा धारा को (V_a − V_b)/R के रूप में व्यक्त करें।
समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
धारा अनुपात: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
निर्धारित धारा: I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा: Z₁′ = a²·Z_L
आंशिक भार पर ताम्र हानि: P_cu = x²·P_cu,fl
दक्षता: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
अधिकतम दक्षता: x = √(P_core/P_cu,fl)

2अभ्यास प्रश्न

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत V₁ द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध R_eq ज्ञात कीजिए।

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.नोडल विश्लेषणमध्यम

A और B के बीच वोल्टता स्रोत Vₛ का + टर्मिनल B पर है, इसलिए यह V_B − V_A = Vₛ बनाता है। सुपरनोड के साथ नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता V_A (ग्राउंड के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए।

I_s = 2 AV_s = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 Ω

V_A = V

4.नोडल विश्लेषणकठिन

नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R₄ से होकर धारा I_R4 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 24 VI_s = 4 AV₂ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 Ω

I_R4 = A

5.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

a–b के बीच भार R_L = 6 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

6.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता V_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 5 ms पर प्रेरक में संचित ऊर्जा W mJ में ज्ञात कीजिए।

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

एक टाइमर t = 0 पर 9 V आपूर्ति से एक प्रतिरोधक के माध्यम से एक अनावेशित संधारित्र को आवेशित करना शुरू करता है। इसे तब ट्रिगर होना है जब संधारित्र वोल्टता 6.75 V तक पहुँचे, शुरुआत के ठीक 10 ms बाद। C = 1 µF के साथ आवश्यक प्रतिरोध R ज्ञात कीजिए।

V_s = 9 VV_th = 6.75 VT = 10 msC = 1 µF

R = kΩ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक प्रतिरोधक और एक संधारित्र 24 V (rms), 500 Hz आपूर्ति के आर-पार समांतर में जुड़े हैं। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩC = 47 µF

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक प्रतिरोधक R₁, R₂ और एक संधारित्र C के समांतर संयोजन के साथ श्रेणी में, 24 V (rms), 500 Hz आपूर्ति के आर-पार जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 24 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 100 ΩC = 2.2 µF

I = A

11.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक एकल-फ़ेज़ मोटर 400 V आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 19 kW लेती है। इसके द्वारा ली गई प्रतिघाती शक्ति Q ज्ञात कीजिए।

P = 19 kWpf = 0.65V = 400 V

Q = kvar

12.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 240 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 27 kW लेता है। भार के समांतर में एक 220 µF संधारित्र जोड़ा जाता है। आपूर्ति द्वारा देखा गया नया शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।

P = 27 kWpf₁ = 0.8V = 240 Vf = 60 HzC = 220 µF

cos φ =

13.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

प्रति फ़ेज़ 7 + j24 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Y-संयोजित भार 400 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 400 VZ = 7 + j24 Ω प्रति फ़ेज़

P = kW

14.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 415 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 150 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.92 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Y में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 150 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.92V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

15.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम

फेरा अनुपात N₁:N₂ = 6:1 वाले एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर की द्वितीयक कुंडली के सिरों पर 75 Ω का प्रतिरोधक जुड़ा है। प्राथमिक कुंडली की ओर से देखने पर दिखने वाला प्रतिरोध R_1′ ज्ञात कीजिए।

N₁:N₂ = 6:1R_L = 75 Ω

R_1′ = Ω

16.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन

एक एकल-फ़ेज़ 100 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 800 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 2000 W है। किस भार S_η,max पर, kVA में, इसकी दक्षता सबसे अधिक होती है?

S = 100 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 W

S_η,max = kVA

3विलयन

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 0.8333 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_eq = R₁ + 3 = 6 + 3 = 9 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9 = 1.667 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.667·6 = 5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5/6 = 0.8333 A

उत्तर

I_R2 = 0.8333 A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: R_eq = 7.315 Ω

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 30 + 3 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 2.75 Ω

R₃ + 2.75 = 6.75 Ω

R₂ ∥ 6.75 = 5.315 Ω

R_eq = R₁ + 5.315 = 2 + 5.315 = 7.315 Ω

उत्तर

R_eq = 7.315 Ω

3.नोडल विश्लेषण

उत्तर: V_A = 10.33 V

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

सुपरनोड बनाएँ

A और B के बीच का वोल्टता स्रोत एक अज्ञात धारा वहन करता है, इसलिए KCL को A या B पर अलग-अलग नहीं लिखा जा सकता। A, B और स्रोत को एक सुपरनोड में घेरें: उसमें प्रवेश करने वाली धारा उससे निकलने वाली धारा के बराबर है।

V_B = V_A + V_s = V_A + 9

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

हल करें

V_A/10 + (V_A + 9)/20 = 2

V_A = (2 − 9/20)/(1/10 + 1/20) = 10.33 V

V_B = 10.33 + 9 = 19.33 V

उत्तर

V_A = 10.33 V

4.नोडल विश्लेषण

उत्तर: I_R4 = 2.912 A

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V₁ = 24 V, V₂ = −9 V)। अज्ञात: V_A, V_B।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 24)/8 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.3167·V_A − 0.125·V_B = 3

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/8 + (V_B − (−9))/8 = 4

−0.125·V_A + 0.3333·V_B = 2.875

हल करें

Δ = (0.3167)(0.3333) − (−0.125)(−0.125) = 0.08993

V_A = Δ₁/Δ = 1.359/0.08993 = 15.12 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.285/0.08993 = 14.29 V

उत्तर

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (14.29 − −9)/8 = 2.912 A

5.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = 0.5068 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 2 = 7.455 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·10/(12+10) = 6.818 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6.818/(7.455 + 6) = 0.5068 A

6.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: V_th = 27.06 V

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 20·25/(20+25) = 11.11 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 11.11 + 3 = 14.11 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + 0.5·11.11 = 25.56 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 25.56 + 0.5·3 = 27.06 V

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: W = 7.409 mJ

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

दिए गए समय पर धारा

i(t) = 0.4255·(1 − e^−5/2.128) = 0.3849 A

संचित ऊर्जा

W = ½·L·i² = ½·100·0.3849² = 7.409 mJ

उत्तर

W = 7.409 mJ

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: R = 7.213 kΩ

आवश्यक समय स्थिरांक

6.75 = 9·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(9/(9 − 6.75))

τ = 10/1.386 = 7.213 ms

प्रतिरोध

kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।

R = τ/C = 7.213/1 = 7.213 kΩ

उत्तर

R = 7.213 kΩ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = −77.28 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

शाखा धाराएँ

दोनों शाखाएँ सीधे आपूर्ति के आर-पार जुड़ी हैं, इसलिए हर एक पूरी वोल्टता V देखती है।

I_R = V/R = 24/30 = 0.8 A

I_X = V/X_C = 24/6.773 = 3.544 A

कुल धारा

प्रतिरोधक धारा V के साथ समान कला में है और प्रतिघाती धारा 90° कला से बाहर है, इसलिए वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह जुड़ती हैं।

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.8² + 3.544²) = 3.633 A

कलान्तर कोण

संधारित्र धारा V से आगे रहती है, इसलिए कुल धारा आगे रहती है और कोण ऋणात्मक है।

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(3.544/0.8) = −77.28°

उत्तर

φ = −77.28°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.2216 A

प्रतिघात

X_C = 1/(2π·500·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

समांतर संयोजन

Z_p को वास्तविक और काल्पनिक भागों में बाँटने के लिए अंश और हर को सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करें।

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 67.67 − j46.77 Ω

कुल प्रतिबाधा

Z = 30 + 67.67 − j46.77 = 97.67 − j46.77 Ω

|Z| = √(97.67² + 46.77²) = 108.3 Ω

धारा

I = V/|Z| = 24/108.3 = 0.2216 A

उत्तर

I = 0.2216 A

11.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: Q = 22.21 kvar

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

कोण

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

प्रतिघाती शक्ति

Q = P·tan φ = 19·1.169 = 22.21 kvar

उत्तर

Q = 22.21 kvar

12.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: cos φ = 0.8676

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = 27·tan(arccos 0.8) = 20.25 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4777 var = 4.777 kvar

Q₂ = 20.25 − 4.777 = 15.47 kvar

नई आभासी शक्ति

S₂ = √(27² + 15.47²) = 31.12 kVA

नया शक्ति गुणक

cos φ = P/S₂ = 27/31.12 = 0.8676

उत्तर

cos φ = 0.8676

13.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 1.792 kW

फ़ेज़ वोल्टता

V_ph = 400/√3 = 230.9 V

फ़ेज़ धारा

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 230.9/25 = 9.238 A

कुल वास्तविक शक्ति

हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।

P = 3·I_ph²·R = 3·9.238²·7 = 1.792 kW

उत्तर

P = 1.792 kW

जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.28, और √3·V_L·I_L·cos φ से वही शक्ति मिलती है।

14.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 1717 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 150·tan(acos 0.65) = 150·1.169 = 175.4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 111.5 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Y बैंक में हर संधारित्र एक लाइन और स्टार बिंदु के बीच जुड़ा होता है।

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 37157/(377·239.6²) = 1717 µF

उत्तर

C_ph = 1717 µF

15.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: R_1′ = 2700 Ω

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

स्थानांतरित प्रतिरोध

वोल्टता a गुना बढ़ती है और धारा a गुना घटती है, इसलिए अनुपात V/I, a² गुना बढ़ता है।

R_1′ = a²·R_L = 6²·75 = 2700 Ω

उत्तर

R_1′ = 2700 Ω

16.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: S_η,max = 63.25 kVA

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·P_cu,fl होती है। दक्षता η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), जहाँ P_out = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर

x²·2000 = 800 → x = √(800/2000) = 0.6325

अधिकतम दक्षता पर भार

S_η,max = x·S = 0.6325·100 = 63.25 kVA

उत्तर

S_η,max = 63.25 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals

आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

विधि

नोडल विश्लेषण

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

ट्रांसफ़ॉर्मर

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

R₂ से होकर धारा

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

उत्तर

सुपरनोड बनाएँ

हल करें

उत्तर

नोड तय करें

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

दिए गए समय पर धारा

संचित ऊर्जा

उत्तर

आवश्यक समय स्थिरांक

प्रतिरोध

उत्तर

प्रतिघात

शाखा धाराएँ

कुल धारा

कलान्तर कोण

उत्तर

प्रतिघात

समांतर संयोजन

कुल प्रतिबाधा

धारा

उत्तर

कोण

प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

नई आभासी शक्ति

नया शक्ति गुणक

उत्तर

फ़ेज़ वोल्टता

फ़ेज़ धारा

कुल वास्तविक शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

प्रति फ़ेज़ धारिता

उत्तर

स्थानांतरित प्रतिरोध

उत्तर

ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर

अधिकतम दक्षता पर भार

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें