आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का धारा नियम: ΣI_in = ΣI_out
शाखा धारा: I = (V_a − V_b)/R
संदर्भ नोड: V_ground = 0

विधि

एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
हर शाखा धारा को (V_a − V_b)/R के रूप में व्यक्त करें।
समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
धारा अनुपात: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
निर्धारित धारा: I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा: Z₁′ = a²·Z_L
आंशिक भार पर ताम्र हानि: P_cu = x²·P_cu,fl
दक्षता: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
अधिकतम दक्षता: x = √(P_core/P_cu,fl)

2अभ्यास प्रश्न

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

3.नोडल विश्लेषणमध्यम

नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता V_A (ग्राउंड के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

V_A = V

4.नोडल विश्लेषणकठिन

नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R₄ से होकर धारा I_R4 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VI_s = 5 AV₂ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 Ω

I_R4 = A

5.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता V_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

6.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

नॉर्टन धारा I_N ज्ञात कीजिए: टर्मिनल शॉर्ट करने पर a से b की ओर बहने वाली धारा।

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 1000 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 24 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

v_C = V

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 30 V है। v_C को 24.6 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 12 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 100 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 100 µF

V_C = V

11.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक प्रेरकीय भार 240 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से 2 A और 408 W लेता है। इसे प्रतिघात X के साथ श्रेणी में एक प्रतिरोध R के रूप में मॉडल करें। X ज्ञात कीजिए।

V = 240 VI = 2 AP = 408 W

X = Ω

12.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 400 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.6 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 15 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.95 तक बढ़ाता है। नई लाइन धारा I_new ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWpf₁ = 0.6pf₂ = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

13.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 690 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली आपूर्ति से 75 A की लाइन धारा लेता है। शक्ति गुणक 0.7 पश्चगामी है। भार द्वारा ली गई कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 690 VI_L = 75 Acos φ = 0.7

P = kW

14.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 690 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 75 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.9 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति Q_C kvar में ज्ञात कीजिए।

P = 75 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

15.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम

एक एकल-फ़ेज़ 15 kVA, 10000/400 V ट्रांसफ़ॉर्मर अपने निर्धारित भार पर चल रहा है। इसे आदर्श मानें। निम्न-वोल्टता कुंडली में धारा I_LV ज्ञात कीजिए।

S = 15 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

16.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन

एक एकल-फ़ेज़ 100 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 600 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 1500 W है। यह 0.85 पश्चगामी शक्ति गुणक पर अपने निर्धारित kVA का 75% देता है। इस भार पर कुल हानियाँ P_loss वाट में ज्ञात कीजिए।

S = 100 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1500 Wx = 0.75pf = 0.85

P_loss = W

3विलयन

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 0.2919 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3.214 Ω

R_eq = R₁ + 3.214 = 10 + 3.214 = 13.21 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 6/13.21 = 0.4541 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.4541·10 = 1.459 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.459/5 = 0.2919 A

उत्तर

I_R2 = 0.2919 A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.8514 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 6.97 Ω

R₃ + 6.97 = 9.97 Ω

R₂ ∥ 9.97 = 3.746 Ω

R_eq = R₁ + 3.746 = 8 + 3.746 = 11.75 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11.75 = 0.8514 A

उत्तर

I_R1 = 0.8514 A

3.नोडल विश्लेषण

उत्तर: V_A = 10.71 V

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V₁ = 15 V)। अज्ञात: V_A, V_B।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 15)/4 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.575·V_A − 0.125·V_B = 3.75

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/8 = 3

−0.125·V_A + 0.225·V_B = 3

हल करें

Δ = (0.575)(0.225) − (−0.125)(−0.125) = 0.1137

V_A = Δ₁/Δ = 1.219/0.1137 = 10.71 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.194/0.1137 = 19.29 V

उत्तर

V_A = 10.71 V

4.नोडल विश्लेषण

उत्तर: I_R4 = 4.217 A

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V₁ = 12 V, V₂ = −36 V)। अज्ञात: V_A, V_B।

नोड A पर KCL

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/10 + (V_A − 12)/5 + (V_A − V_B)/30 = 0

0.3333·V_A − 0.03333·V_B = 2.4

नोड B पर KCL

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/30 + (V_B − (−36))/12 = 5

−0.03333·V_A + 0.1567·V_B = 2

हल करें

Δ = (0.3333)(0.1567) − (−0.03333)(−0.03333) = 0.05111

V_A = Δ₁/Δ = 0.4427/0.05111 = 8.661 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.7467/0.05111 = 14.61 V

उत्तर

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (14.61 − −36)/12 = 4.217 A

5.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: V_th = 8.571 V

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.857 + 6 = 8.857 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·10/(4+10) = 8.571 V

6.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_N = 3.077 A

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.108 + 20 = 28.11 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 16.22 + 2.5·8.108 = 36.49 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 36.49 + 2.5·20 = 86.49 V

नॉर्टन समतुल्य

नॉर्टन स्रोत वही परिपथ है जिसे R_th के समांतर एक धारा स्रोत के रूप में देखा जाता है। इसकी धारा a–b पर शॉर्ट-सर्किट धारा है।

I_N = V_th/R_th = 86.49/28.11 = 3.077 A

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 14.07 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

R_th के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3.3·6.8/(3.3 + 6.8) = 2.222 kΩ

v_C(∞) = 24·6.8/(3.3 + 6.8) = 16.16 V

समय स्थिरांक

τ = R_th·C = 2.222·220 = 488.8 ms

आवेशन वक्र

v_C(t) = 16.16·(1 − e^{−1000/488.8}) = 14.07 V

उत्तर

v_C = 14.07 V

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 242.5 ms

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 12 + (30 − 12)·e^−t/τ

समय के लिए हल करें

24.6 = 12 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (24.6 − 12)/(30 − 12) = 0.7

t = τ·ln((30 − 12)/(24.6 − 12)) = 680·ln(1.429) = 242.5 ms

उत्तर

t = 242.5 ms

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = −62.57 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−96.32)²) = 108.5 Ω

कलान्तर कोण

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−96.32/50) = −62.57°

उत्तर

φ = −62.57°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 15.33 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (117.7)²) = 119.4 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 230/119.4 = 1.926 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 1.926·7.958 = 15.33 V

उत्तर

V_C = 15.33 V

11.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: X = 63.21 Ω

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

सक्रिय शक्ति से प्रतिरोध

R = P/I² = 408/2² = 102 Ω

प्रतिबाधा से प्रतिघात

|Z| = V/I = 240/2 = 120 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(120² − 102²) = 63.21 Ω

उत्तर

X = 63.21 Ω

12.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I_new = 39.47 A

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(53.13°) = 20 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18.19°) = 4.93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 15.07 kvar

नई लाइन धारा

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(400·0.95) = 39.47 A

उत्तर

I_new = 39.47 A

13.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 62.74 kW

आभासी शक्ति

S = √3·V_L·I_L = √3·690·75 = 89.63 kVA

सक्रिय शक्ति

P = S·cos φ = 89.63·0.7 = 62.74 kW

उत्तर

P = 62.74 kW

14.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: Q_C = 51.36 kvar

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 75·tan(acos 0.65) = 75·1.169 = 87.68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 51.36 kvar

उत्तर

Q_C = 51.36 kvar

15.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: I_LV = 37.5 A

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

निर्धारित धारा

दोनों कुंडलियाँ समान आभासी शक्ति वहन करती हैं।

I_LV = S/V = 15000/400 = 37.5 A

उत्तर

I_LV = 37.5 A

16.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: P_loss = 1444 W

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·P_cu,fl होती है। दक्षता η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), जहाँ P_out = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

इस भार पर ताम्र हानि

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·1500 = 843.8 W

कुल हानियाँ

क्रोड हानि किसी भी भार पर समान रहती है।

P_loss = 600 + 843.8 = 1444 W

उत्तर

P_loss = 1444 W

इस भार पर दक्षता η = 97.79% है।

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आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

विधि

नोडल विश्लेषण

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

ट्रांसफ़ॉर्मर

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

R₂ से होकर धारा

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

उत्तर

नोड तय करें

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

उत्तर

नोड तय करें

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

नॉर्टन समतुल्य

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

समय स्थिरांक

आवेशन वक्र

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

समय के लिए हल करें

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

कलान्तर कोण

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

संधारित्र पर वोल्टता

उत्तर

सक्रिय शक्ति से प्रतिरोध

प्रतिबाधा से प्रतिघात

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

नई लाइन धारा

उत्तर

आभासी शक्ति

सक्रिय शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

निर्धारित धारा

उत्तर

इस भार पर ताम्र हानि

कुल हानियाँ

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें