आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का धारा नियम: ΣI_in = ΣI_out
शाखा धारा: I = (V_a − V_b)/R
संदर्भ नोड: V_ground = 0

विधि

एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
हर शाखा धारा को (V_a − V_b)/R के रूप में व्यक्त करें।
समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
धारा अनुपात: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
निर्धारित धारा: I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा: Z₁′ = a²·Z_L
आंशिक भार पर ताम्र हानि: P_cu = x²·P_cu,fl
दक्षता: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
अधिकतम दक्षता: x = √(P_core/P_cu,fl)

2अभ्यास प्रश्न

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत V₁ द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध R_eq ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

3.नोडल विश्लेषणमध्यम

नोडल विश्लेषण से धारा स्रोत I_s द्वारा दी गई शक्ति P_Is ज्ञात कीजिए।

V₁ = 6 VI_s = 3 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

P_Is = W

4.नोडल विश्लेषणकठिन

हीरा-आकृति एक वोल्टता-नियंत्रित धारा स्रोत है जो 0.2·V_A की धारा (A में, V_A को V में लेकर) ऊपर नोड B में धकेलता है। नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता V_A (ग्राउंड के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए।

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 Ωg = 0.2 A/V

V_A = V

5.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

a–b के बीच भार R_L = 5 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

6.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

नॉर्टन धारा I_N ज्ञात कीजिए: टर्मिनल शॉर्ट करने पर a से b की ओर बहने वाली धारा।

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 50% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 33 mH

t = ms

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से खुला है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और R₂ को शॉर्ट कर देता है। t = 5 ms पर प्रेरक धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 20 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms

i = A

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

L = 50 mH वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 2000 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।

f₀ = 2000 HzL = 50 mH

C = µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक प्रतिरोधक R₁, R₂ और एक संधारित्र C के समांतर संयोजन के साथ श्रेणी में, 50 V (rms), 500 Hz आपूर्ति के आर-पार जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 22 µF

I = A

11.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

400 V एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से दो भार समांतर में जुड़े हैं: 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर एक 28 kW भार और 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर एक 15 kW भार। आपूर्ति द्वारा देखा गया कुल शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।

V = 400 VP₁ = 28 kW, pf₁ = 0.7 पश्चगामीP₂ = 15 kW, pf₂ = 0.8 पश्चगामी

cos φ =

12.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 230 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 18 kW लेता है। भार के समांतर में एक 470 µF संधारित्र जोड़ा जाता है। आपूर्ति द्वारा देखा गया नया शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।

P = 18 kWpf₁ = 0.7V = 230 Vf = 60 HzC = 470 µF

cos φ =

13.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली आपूर्ति से 50 A की लाइन धारा लेता है। शक्ति गुणक 0.75 पश्चगामी है। भार द्वारा ली गई कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 400 VI_L = 50 Acos φ = 0.75

P = kW

14.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 480 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 50 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.92 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Y में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

15.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम

100 Ω निर्गत प्रतिरोध वाला एक प्रवर्धक एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर के माध्यम से 4 Ω के लाउडस्पीकर को चलाता है। अधिकतम शक्ति अंतरण के लिए लाउडस्पीकर प्रवर्धक से 100 Ω जैसा दिखना चाहिए। फेरा अनुपात a = N₁/N₂ ज्ञात कीजिए।

R_s = 100 ΩR_L = 4 Ω

a =

16.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन

एक एकल-फ़ेज़ 25 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 100 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 200 W है। किस भार S_η,max पर, kVA में, इसकी दक्षता सबसे अधिक होती है?

S = 25 kVAP_core = 100 WP_cu,fl = 200 W

S_η,max = kVA

3विलयन

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.9509 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 10·32/(10+32) = 7.619 Ω

R_eq = R₁ + 7.619 = 5 + 7.619 = 12.62 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12.62 = 0.9509 A

उत्तर

I_R1 = 0.9509 A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: R_eq = 25.37 Ω

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4.839 Ω

R₃ + 4.839 = 6.839 Ω

R₂ ∥ 6.839 = 5.37 Ω

R_eq = R₁ + 5.37 = 20 + 5.37 = 25.37 Ω

उत्तर

R_eq = 25.37 Ω

3.नोडल विश्लेषण

उत्तर: P_Is = 28.59 W

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 6)/2 + (V_A − V_B)/3 = 0

1.167·V_A − 0.3333·V_B = 3

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/3 = 3

−0.3333·V_A + 0.5·V_B = 3

हल करें

Δ = (1.167)(0.5) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.4722

V_A = Δ₁/Δ = 2.5/0.4722 = 5.294 V

V_B = Δ₂/Δ = 4.5/0.4722 = 9.529 V

धारा स्रोत द्वारा दी गई शक्ति

स्रोत Iₛ को ग्राउंड (0 V) से V_B तक ऊपर नोड B में धकेलता है। जिस स्रोत की धारा उसके + सिरे से निकलती है वह P = V·I देता है।

P_Is = V_B·I_s = 9.529·3 = 28.59 W

उत्तर

P_Is = 28.59 W

4.नोडल विश्लेषण

उत्तर: V_A = 6.908 V

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में धकेली गई धारा के बराबर हैं।

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.3833·V_A − 0.08333·V_B = 1.25

नोड B पर KCL

आश्रित स्रोत g·V_A को नोड B में धकेलता है। इसे स्वतंत्र स्रोत की तरह मानें, फिर V_A पद को बाईं ओर ले जाएँ।

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.2·V_A

−0.2833·V_A + 0.1167·V_B = 0

हल करें

Δ = (0.3833)(0.1167) − (−0.08333)(−0.2833) = 0.02111

V_A = Δ₁/Δ = 0.1458/0.02111 = 6.908 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.3542/0.02111 = 16.78 V

उत्तर

V_A = 6.908 V

5.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = 0.1379 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 10 = 12.4 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·4/(6+4) = 2.4 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2.4/(12.4 + 5) = 0.1379 A

6.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_N = 1.074 A

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 30 = 32.4 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2.4 + 1·2.4 = 4.8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 4.8 + 1·30 = 34.8 V

नॉर्टन समतुल्य

नॉर्टन स्रोत वही परिपथ है जिसे R_th के समांतर एक धारा स्रोत के रूप में देखा जाता है। इसकी धारा a–b पर शॉर्ट-सर्किट धारा है।

I_N = V_th/R_th = 34.8/32.4 = 1.074 A

7.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 0.6931 ms

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0.4545 A

समय के लिए हल करें

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −1·ln(0.5) = 0.6931 ms

उत्तर

t = 0.6931 ms

8.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 1.78 A

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले दोनों प्रतिरोधक लूप में हैं; बाद में बंद स्विच R₂ को बायपास करता है।

i(0) = 20/(10 + 10) = 1 A

i(∞) = 20/10 = 2 A

τ = L/R = 33/10 = 3.3 ms

i(t) = 2 + (1 − 2)·e^−t/τ

दिए गए समय पर धारा

i(5) = 2 + (−1)·e^−5/3.3 = 1.78 A

उत्तर

i = 1.78 A

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: C = 0.1267 µF

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद शर्त

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.05) = 0.1267 µF

उत्तर

C = 0.1267 µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.879 A

प्रतिघात

X_C = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

समांतर संयोजन

Z_p को वास्तविक और काल्पनिक भागों में बाँटने के लिए अंश और हर को सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करें।

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 5.661 − j11.74 Ω

कुल प्रतिबाधा

Z = 50 + 5.661 − j11.74 = 55.66 − j11.74 Ω

|Z| = √(55.66² + 11.74²) = 56.89 Ω

धारा

I = V/|Z| = 50/56.89 = 0.879 A

उत्तर

I = 0.879 A

11.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: cos φ = 0.7338

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

हर भार की प्रतिघाती शक्ति

पश्चगामी भार प्रतिघाती शक्ति लेता है (Q > 0); अग्रगामी भार उसे देता है (Q < 0)।

Q₁ = 28·tan(arccos 0.7) = 28.57 kvar

Q₂ = 15·tan(arccos 0.8) = 11.25 kvar

योग

P = 28 + 15 = 43 kW

Q = 28.57 + 11.25 = 39.82 kvar

S = √(43² + 39.82²) = 58.6 kVA

कुल शक्ति गुणक

cos φ = P/S = 43/58.6 = 0.7338 पश्चगामी

उत्तर

cos φ = 0.7338

12.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: cos φ = 0.8946

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = 18·tan(arccos 0.7) = 18.36 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·470·10⁻⁶ = 9373 var = 9.373 kvar

Q₂ = 18.36 − 9.373 = 8.991 kvar

नई आभासी शक्ति

S₂ = √(18² + 8.991²) = 20.12 kVA

नया शक्ति गुणक

cos φ = P/S₂ = 18/20.12 = 0.8946

उत्तर

cos φ = 0.8946

13.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 25.98 kW

आभासी शक्ति

S = √3·V_L·I_L = √3·400·50 = 34.64 kVA

सक्रिय शक्ति

P = S·cos φ = 34.64·0.75 = 25.98 kW

उत्तर

P = 25.98 kW

14.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 186.5 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 50·tan(acos 0.8) = 50·0.75 = 37.5 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.92) = 50·0.426 = 21.3 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16.2 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Y बैंक में हर संधारित्र एक लाइन और स्टार बिंदु के बीच जुड़ा होता है।

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 5400/(377·277.1²) = 186.5 µF

उत्तर

C_ph = 186.5 µF

15.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: a = 5

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

स्थानांतरित भार का मिलान करें

a²·4 = 100

a = √(100/4) = √25 = 5

उत्तर

a = 5

16.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: S_η,max = 17.68 kVA

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·P_cu,fl होती है। दक्षता η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), जहाँ P_out = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर

x²·200 = 100 → x = √(100/200) = 0.7071

अधिकतम दक्षता पर भार

S_η,max = x·S = 0.7071·25 = 17.68 kVA

उत्तर

S_η,max = 17.68 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals

आधारभूत विद्युत इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

विधि

नोडल विश्लेषण

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

ट्रांसफ़ॉर्मर

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

उत्तर

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

धारा स्रोत द्वारा दी गई शक्ति

उत्तर

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

नॉर्टन समतुल्य

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

समय के लिए हल करें

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

दिए गए समय पर धारा

उत्तर

अनुनाद शर्त

उत्तर

प्रतिघात

समांतर संयोजन

कुल प्रतिबाधा

धारा

उत्तर

हर भार की प्रतिघाती शक्ति

योग

कुल शक्ति गुणक

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

नई आभासी शक्ति

नया शक्ति गुणक

उत्तर

आभासी शक्ति

सक्रिय शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

प्रति फ़ेज़ धारिता

उत्तर

स्थानांतरित भार का मिलान करें

उत्तर

ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर

अधिकतम दक्षता पर भार

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें