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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक परीक्षण की संवेदनशीलता 92% और विशिष्टता 63% है। ऋणात्मक संभाविता अनुपात LR− ज्ञात कीजिए। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।
Se = 92%Sp = 63%
LR− =
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। दवा के बिना 33% रोगियों को एक वर्ष में कोई निश्चित दुष्प्रभाव होता है। दवा इस जोखिम को सापेक्ष जोखिम RR = 2.41 के साथ बढ़ाती है। हानि के लिए आवश्यक संख्या NNH ज्ञात कीजिए: एक अतिरिक्त रोगी में दुष्प्रभाव होने के लिए कितने रोगियों को एक वर्ष तक दवा लेनी होगी? रोगियों की पूरी संख्या तक ऊपर पूर्णांकित कीजिए।
नियंत्रण 33%RR = 2.41
NNH =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 42, 37, 13, 14, 31।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 150 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 170σ = 20x = 150
z =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 73.5 और मानक विचलन s = 1.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 7x̄ = 73.5s = 1.595%t(6) = 2.447
ऊपरी सीमा =
6.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 31 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?
σ = 31E = 395%
n =
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 9 ज्ञात है। 36 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 46.64 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ < 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 50σ = 9n = 36x̄ = 46.64H₁: μ < μ₀
p =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 48.8 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।
x̄ = 48.8σ = 5n = 1699%
L =
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: LR− = 0.13
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
ऋणात्मक संभाविता अनुपात
LR− = (1 − 0.92)/0.63 = 0.127 ≈ 0.13
उत्तर
LR− = 0.13
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: NNH = 3
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
दवा के साथ जोखिम
0.33·2.41 = 0.7953
निरपेक्ष जोखिम में वृद्धि
ARI = 0.7953 − 0.33 = 0.4653
हानि के लिए आवश्यक संख्या
NNH = 1/0.4653 = 2.149 → 3
उत्तर
NNH = 3
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 13.28
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (150 − 170)/20 = −1
उत्तर
z = −1
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 74.89
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 6, t = 2.447
त्रुटि सीमा
E = 2.447·1.5/√7 = 1.387
अंतराल
73.5 ± 1.387 → [72.11, 74.89]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 74.89
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 411
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.96·31/3)² = 410.2
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 411
उत्तर
n = 411
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.01255
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 9/√36 = 1.5
z = (46.64 − 50)/1.5 = −2.24
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(2.24) = 0.9875
1 − Φ(2.24) = 0.0125
p-मान
p = 0.01255
उत्तर
p = 0.01255
p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: L = 45.58
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।