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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक यादृच्छिक ट्रायल में 1000 रोगियों को नया उपचार और 630 को नियंत्रण उपचार मिला। तालिका दिखाती है कि प्रत्येक समूह में कितनों को एक दुष्प्रभाव हुआ। हानि के लिए आवश्यक संख्या NNH ज्ञात कीजिए: एक अतिरिक्त रोगी में दुष्प्रभाव होने के लिए कितने रोगियों का उपचार करना पड़ता है? रोगियों की पूरी संख्या तक ऊपर पूर्णांकित कीजिए।
उपचार: 273/1000नियंत्रण: 132/630
NNH =
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। 10 000 लोगों की जाँच संवेदनशीलता 98% और विशिष्टता 78% वाले परीक्षण से की जाती है। रोग की व्यापकता 9% है। कितने सही-पॉज़िटिव परिणाम TP अपेक्षित हैं?
N = 10 000p = 9%Se = 98%Sp = 78%
TP =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 44, 23, 28, 40, 25, 12।
n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 100 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 600 से कम है?
μ = 500σ = 100x = 600
P =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 80 फ़ोन, माध्य 41 h, ज्ञात मानक विचलन 9 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 33.5 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
10 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 11.4 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 9 के साथ χ² बंटन का 2.5% 2.7 से नीचे और 2.5% 19.023 से ऊपर है।
n = 10s = 11.4 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
15 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −7.75 और अंतरों का मानक विचलन 7.5 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 15d̄ = −7.75sd = 7.5
t =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
49 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 506.2 है। समष्टि मानक विचलन 15 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 506.2σ = 15n = 4995%
U =
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: NNH = 16
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
घटना दरें
EER = 273/1000 = 0.273
CER = 132/630 = 0.2095
हानि के लिए आवश्यक संख्या
ARI = 0.273 − 0.2095 = 0.06348
NNH = 1/0.06348 = 15.75 → 16
उत्तर
NNH = 16
उपचार किए गए प्रत्येक 16 रोगियों में से लगभग एक को उपचार के कारण दुष्प्रभाव होता है।
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: TP = 882
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
रोग सहित और रोग रहित
10 000·0.09 = 900
10 000 − 900 = 9100
सही पॉज़िटिव
TP = 900·0.98 = 882
उत्तर
TP = 882
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 11.72
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
उत्तर
P = 0.8413
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 10.88 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 41 − 33.5 = 7.5
मानक त्रुटि
SE = √(9²/80 + 14²/100) = 1.724
त्रुटि सीमा
E = 1.96·1.724 = 3.379
अंतराल
7.5 ± 3.379 → [4.121, 10.88]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 10.88 h
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: σ = 20.81 µm
प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।
वर्गों का योग
(n − 1)s² = 9·11.4² = 1170
σ² की सीमाएँ
1170/19.023 = 61.49
1170/2.7 = 433.2
σ की सीमा
σ = √433.2 = 20.81 µm
उत्तर
σ = 20.81 µm
σ के लिए 95% अंतराल: [7.841, 20.81] µm।
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −4.002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 7.5/√15 = 1.936
परीक्षण सांख्यिकी
t = −7.75/1.936 = −4.002
उत्तर
t = −4.002
df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 510.4
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।