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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक कोहोर्ट में लोगों के समूहों का अलग-अलग अवधि तक अनुसरण किया गया (तालिका देखिए: प्रत्येक के लिए लोगों की संख्या और अनुवर्ती वर्ष)। अनुवर्ती के दौरान 209 नए मामले हुए। घटना दर IR प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष ज्ञात कीजिए। एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करें।
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक उपचार सापेक्ष रूप में किसी घटना का जोखिम 19% घटाता है (RRR = 19%)। रोगियों के एक समूह में उपचार के बिना जोखिम (CER) पाँच वर्षों में 31% है। पाँच वर्षों में एक घटना रोकने के लिए उपचार के लिए आवश्यक संख्या NNT ज्ञात कीजिए। रोगियों की पूरी संख्या तक ऊपर पूर्णांकित कीजिए।
RRR = 19%CER = 31%
NNT =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 25, 49, 18, 12।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 40 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 60σ = 10x = 40
z =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 100 फ़ोन, माध्य 88 h, ज्ञात मानक विचलन 16 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 83.5 h, ज्ञात मानक विचलन 17 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 5 प्लॉट, माध्य उपज 47 kg, मानक विचलन 5 kg। प्लॉट समूह 2: 7 प्लॉट, माध्य 52.5 kg, मानक विचलन 6 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 122.9 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 120x̄ = 122.9s = 12n = 49
t =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 100 में से 30 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 200 में से 72 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 72n₂ = 200
z =
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: IR = 35.8 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
व्यक्ति-वर्ष
PY = 540·5 + 550·5 + 260·1.5 = 5840
घटना दर
IR = 209/5840·1000 = 35.8 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
उत्तर
IR = 35.8 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: NNT = 17
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
निरपेक्ष जोखिम में कमी
ARR = 0.31·0.19 = 0.0589
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/0.0589 = 16.98 → 17
उत्तर
NNT = 17
आधार रेखा जोखिम अधिक होने पर वही सापेक्ष प्रभाव छोटा NNT देता है।
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 16.66
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (40 − 60)/10 = −2
उत्तर
z = −2
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 5.323 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 88 − 83.5 = 4.5
मानक त्रुटि
SE = √(16²/100 + 17²/60) = 2.716
त्रुटि सीमा
E = 1.96·2.716 = 5.323
उत्तर
E = 5.323 h
अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 0.4643 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (4·5² + 6·6²)/10 = 31.6
sp = 5.621
त्रुटि सीमा
E = 1.812·5.621·√(1/5 + 1/7) = 5.964
अंतराल
−5.5 ± 5.964 → [−11.46, 0.4643]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 0.4643 kg
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.692
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
परीक्षण सांख्यिकी
t = (122.9 − 120)/1.714 = 1.692
उत्तर
t = 1.692
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = −1.034
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 30/100 = 0.3
p̂₂ = 72/200 = 0.36
p̂ = 102/300 = 0.34
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.34·0.66·(1/100 + 1/200)) = 0.05802
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.3 − 0.36)/0.05802 = −1.034
उत्तर
z = −1.034
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।