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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक कोहोर्ट अध्ययन में संपर्क में आए लोगों ने 1900 व्यक्ति-वर्ष का योगदान दिया जिसमें 90 नए मामले हुए, और संपर्क में न आए लोगों ने 4900 व्यक्ति-वर्ष का योगदान दिया जिसमें 93 नए मामले हुए। घटना दर अनुपात IRR (संपर्क बनाम गैर-संपर्क) ज्ञात कीजिए। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।
संपर्क में आए: 90/1900 PYसंपर्क में नहीं आए: 93/4900 PY
IRR =
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। दवा के बिना 37% रोगियों को एक वर्ष में कोई निश्चित दुष्प्रभाव होता है। दवा इस जोखिम को सापेक्ष जोखिम RR = 1.87 के साथ बढ़ाती है। हानि के लिए आवश्यक संख्या NNH ज्ञात कीजिए: एक अतिरिक्त रोगी में दुष्प्रभाव होने के लिए कितने रोगियों को एक वर्ष तक दवा लेनी होगी? रोगियों की पूरी संख्या तक ऊपर पूर्णांकित कीजिए।
नियंत्रण 37%RR = 1.87
NNH =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 35, 45, 19, 53, 27, 30, 22।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 158 से कम है?
μ = 170σ = 15x = 158
P =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 60 फ़ोन, माध्य 120.5 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 105.5 h, ज्ञात मानक विचलन 20 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
समष्टि मानक विचलन 9 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?
σ = 9E = 0.599%
n =
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 52 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 8 mm है। लाइन 2: 40 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 48.4 mm, ज्ञात मानक विचलन 18 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ < 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 20 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 75.5 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 80μ = 75.5σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: IRR = 2.5
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
घटना दरें
संपर्क में आए: 90/1900 = 47.37 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
संपर्क में नहीं आए: 93/4900 = 18.98 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
दर अनुपात
IRR = 47.37/18.98 = 2.496 ≈ 2.5
उत्तर
IRR = 2.5
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: NNH = 4
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
दवा के साथ जोखिम
0.37·1.87 = 0.6919
निरपेक्ष जोखिम में वृद्धि
ARI = 0.6919 − 0.37 = 0.3219
हानि के लिए आवश्यक संख्या
NNH = 1/0.3219 = 3.107 → 4
उत्तर
NNH = 4
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 12.32
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −0.8
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
उत्तर
P = 0.2119
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = 5.617 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 120.5 − 105.5 = 15
मानक त्रुटि
SE = √(14²/60 + 20²/40) = 3.642
त्रुटि सीमा
E = 2.576·3.642 = 9.383
अंतराल
15 ± 9.383 → [5.617, 24.38]
उत्तर
निचली सीमा = 5.617 h
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 2150
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (2.576·9/0.5)² = 2150
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 2150
उत्तर
n = 2150
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 1.207
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
अंतर की मानक त्रुटि
SE = √(8²/80 + 18²/40) = √8.9 = 2.983
परीक्षण सांख्यिकी
z = (52 − 48.4)/2.983 = 1.207
उत्तर
z = 1.207
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: 1 − β = 56.16 %
परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।