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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक अध्ययन में एक नए परीक्षण की तुलना संदर्भ मानक से की गई (2 × 2 तालिका देखिए)। धनात्मक संभाविता अनुपात LR+ ज्ञात कीजिए। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।
a = 292b = 225c = 108d = 755
LR+ =
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। दवा के बिना 5% रोगियों को एक वर्ष में कोई निश्चित दुष्प्रभाव होता है। दवा इस जोखिम को सापेक्ष जोखिम RR = 1.57 के साथ बढ़ाती है। हानि के लिए आवश्यक संख्या NNH ज्ञात कीजिए: एक अतिरिक्त रोगी में दुष्प्रभाव होने के लिए कितने रोगियों को एक वर्ष तक दवा लेनी होगी? रोगियों की पूरी संख्या तक ऊपर पूर्णांकित कीजिए।
नियंत्रण 5%RR = 1.57
NNH =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 54, 51, 31, 16, 44, 44, 42।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 50 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 68 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 50σ = 12x = 68
z =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 3 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 128 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
90%n₁ = 64E₁ = 3n₂ = 128
E₂ =
6.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 43 kg, मानक विचलन 8 kg। प्लॉट समूह 2: 10 प्लॉट, माध्य 36.5 kg, मानक विचलन 5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
एक समष्टि का माध्य 80 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 16 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 78.32 है। H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ < 80 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 80σ = 16n = 64x̄ = 78.32H₁: μ < μ₀
p =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ > 500 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 4 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 501.6 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 500μ = 501.6σ = 4n = 64α = 0.05
1 − β = %
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: LR+ = 3.18
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = 292/400 = 0.73
Sp = 755/980 = 0.7704
धनात्मक संभाविता अनुपात
LR+ = 0.73/(1 − 0.7704) = 3.18
उत्तर
LR+ = 3.18
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: NNH = 36
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
दवा के साथ जोखिम
0.05·1.57 = 0.0785
निरपेक्ष जोखिम में वृद्धि
ARI = 0.0785 − 0.05 = 0.0285
हानि के लिए आवश्यक संख्या
NNH = 1/0.0285 = 35.09 → 36
उत्तर
NNH = 36
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 12.97
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (68 − 50)/12 = 1.5
उत्तर
z = 1.5
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 2.121
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(64/128) = 0.7071
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 3·0.7071 = 2.121
उत्तर
E₂ = 2.121
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 9.254 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (6·8² + 9·5²)/15 = 40.6
sp = 6.372
त्रुटि सीमा
E = 2.947·6.372·√(1/7 + 1/10) = 9.254
उत्तर
E = 9.254 kg
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.2005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (78.32 − 80)/2 = −0.84
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(0.84) = 0.7995
1 − Φ(0.84) = 0.2005
p-मान
p = 0.2005
उत्तर
p = 0.2005
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: 1 − β = 94 %
परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।