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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक यादृच्छिक ट्रायल में 770 रोगियों को नया उपचार और 400 को नियंत्रण उपचार मिला। तालिका दिखाती है कि प्रत्येक समूह में कितनों को परिणाम (कोई अवांछित घटना जैसे स्ट्रोक) हुआ। उपचार के साथ घटना का सापेक्ष जोखिम RR ज्ञात कीजिए। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।
उपचार: 69/770नियंत्रण: 48/400
RR =
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक रोगी की किसी रोग के लिए परीक्षण-पूर्व प्रायिकता 60% है। संवेदनशीलता 76% और विशिष्टता 85% वाले एक परीक्षण का परिणाम ऋणात्मक आता है। रोग की परीक्षण-पश्चात प्रायिकता p′ प्रतिशत के रूप में ज्ञात कीजिए। एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करें।
परीक्षण-पूर्व 60%Se = 76%Sp = 85%ऋणात्मक
p′ = %
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 17, 39, 38, 45, 30, 28।
n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 105 से कम है?
μ = 100σ = 5x = 105
P =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 78 h, ज्ञात मानक विचलन 15 h। मॉडल 2: 30 फ़ोन, माध्य 79 h, ज्ञात मानक विचलन 11 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.03 हो?
p ≈ 0.4E = 0.0390%
n =
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
15 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.92 और अंतरों का मानक विचलन 11.3 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 15d̄ = 2.92sd = 11.3
t =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो? मानक विचलन 15 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।
σ = 15E = 390%
n =
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: RR = 0.75
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
घटना दरें
EER = 69/770 = 0.08961
CER = 48/400 = 0.12
सापेक्ष जोखिम
RR = 0.08961/0.12 = 0.7468 ≈ 0.75
उत्तर
RR = 0.75
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: p′ = 29.8 %
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
संभाविता अनुपात
LR− = (1 − 0.76)/0.85 = 0.2824
परीक्षण-पूर्व ऑड्स
0.6/(1 − 0.6) = 1.5
परीक्षण-पश्चात ऑड्स
1.5·0.2824 = 0.4235
परीक्षण-पश्चात प्रायिकता
p′ = 0.4235/(1 + 0.4235) = 0.2975 ≈ 29.8%
उत्तर
p′ = 29.8%
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 9.948
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
उत्तर
P = 0.8413
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 8.748 h
अंतर के लिए अंतराल: अनुमान ± क्रांतिक मान × मानक त्रुटि। ज्ञात σ वाले दो स्वतंत्र माध्यों के लिए: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) और z। समान अज्ञात प्रसरणों के साथ: संयुक्त s_p और n₁ + n₂ − 2 स्वातंत्र्य कोटि वाला t। युग्मित आँकड़ों के लिए अंतरों के साथ काम करें: d̄ ± t·s_d/√n।
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 78 − 79 = −1
मानक त्रुटि
SE = √(15²/30 + 11²/30) = 3.396
त्रुटि सीमा
E = 2.576·3.396 = 8.748
उत्तर
E = 8.748 h
अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 722
अनुपात के लिए विश्वास्यता अंतराल: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), जहाँ p̂ = x/n। त्रुटि सीमा E तक पहुँचने के लिए n ≥ z²·p(1 − p)/E² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित; पूर्व अनुमान के बिना p = 0.5 लें, जो सबसे बड़ा n देता है।
n ज्ञात करें
n = 1.645²·0.4·0.6/0.03² = 721.6
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 722
उत्तर
n = 722
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.001
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 11.3/√15 = 2.918
परीक्षण सांख्यिकी
t = 2.92/2.918 = 1.001
उत्तर
t = 1.001
df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 68
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।