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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक यादृच्छिक ट्रायल में 220 रोगियों को नया उपचार और 250 को नियंत्रण उपचार मिला। तालिका दिखाती है कि प्रत्येक समूह में कितनों को परिणाम (कोई अवांछित घटना जैसे स्ट्रोक) हुआ। निरपेक्ष जोखिम में कमी ARR प्रतिशत के रूप में ज्ञात कीजिए। एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करें।
उपचार: 66/220नियंत्रण: 100/250
ARR = %
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। 10 000 लोगों की जाँच संवेदनशीलता 84% और विशिष्टता 77% वाले परीक्षण से की जाती है। रोग की व्यापकता 27% है। कितने गलत-पॉज़िटिव परिणाम FP अपेक्षित हैं?
N = 10 000p = 27%Se = 84%Sp = 77%
FP =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 20, 10, 27, 14, 57।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 95 से अधिक है?
μ = 70σ = 20x = 95
P =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 11.6 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 256 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
99%n₁ = 64E₁ = 11.6n₂ = 256
E₂ =
6.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 11 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो?
σ = 11E = 1.599%
n =
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 504.6 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 500x̄ = 504.6s = 8n = 25
t =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 80 में से 48 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 250 में से 137 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 48n₁ = 80x₂ = 137n₂ = 250
z =
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: ARR = 10 %
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
घटना दरें
EER = 66/220 = 0.3
CER = 100/250 = 0.4
निरपेक्ष जोखिम में कमी
ARR = 0.4 − 0.3 = 0.1 = 10%
उत्तर
ARR = 10%
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: FP = 1679
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
रोग सहित और रोग रहित
10 000·0.27 = 2700
10 000 − 2700 = 7300
गलत पॉज़िटिव
FP = 7300·0.23 = 1679
उत्तर
FP = 1679
3947 पॉज़िटिव में से केवल 2268 को रोग है (PPV 57.5%)।
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 18.69
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1.25
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
उत्तर
P = 0.1056
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 5.8
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(64/256) = 0.5
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 11.6·0.5 = 5.8
उत्तर
E₂ = 5.8
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 357
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (2.576·11/1.5)² = 356.9
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 357
उत्तर
n = 357
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 2.875
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6
परीक्षण सांख्यिकी
t = (504.6 − 500)/1.6 = 2.875
उत्तर
t = 2.875
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 0.8157
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 48/80 = 0.6
p̂₂ = 137/250 = 0.548
p̂ = 185/330 = 0.5606
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.5606·0.4394·(1/80 + 1/250)) = 0.06375
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.6 − 0.548)/0.06375 = 0.8157
उत्तर
z = 0.8157
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।