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1सूत्र और विधियाँ
साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
संवेदनशीलता और विशिष्टता
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
पूर्वानुमान मान
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
सटीकता
(a + d)/n
संभाविता अनुपात
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
व्यापकता p पर PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
ऑड्स
ऑड्स = p/(1 − p); p = ऑड्स/(1 + ऑड्स); परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR
जोखिम माप
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
उपचार के लिए आवश्यक संख्या
NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित; NNH = 1/(EER − CER)
ऑड्स अनुपात
OR = ad/(bc)
घटना दर
नए मामले / व्यक्ति-समय
विधि
गणना से पहले 2 × 2 तालिका बनाइए और a, b, c और d को चिह्नित कीजिए।
संवेदनशीलता और विशिष्टता स्तंभों में नीचे पढ़िए, पूर्वानुमान मान पंक्तियों में।
किसी अन्य व्यापकता के लिए 10 000 लोगों की कल्पना कीजिए और तालिका को Se, Sp और व्यापकता से भरिए।
संभाविता अनुपात के लिए प्रायिकता को ऑड्स में बदलिए, गुणा कीजिए, और वापस बदल दीजिए।
ट्रायल के लिए पहले EER और CER निकालिए; फिर RR = EER/CER, ARR = CER − EER और NNT = 1/ARR ऊपर की ओर पूर्णांकित।
वर्णनात्मक सांख्यिकी
माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
विश्वास्यता अंतराल
σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n
विधि
H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीमध्यम
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। एक कोहोर्ट अध्ययन में संपर्क में आए लोगों ने 3100 व्यक्ति-वर्ष का योगदान दिया जिसमें 19 नए मामले हुए, और संपर्क में न आए लोगों ने 6800 व्यक्ति-वर्ष का योगदान दिया जिसमें 20 नए मामले हुए। घटना दर अनुपात IRR (संपर्क बनाम गैर-संपर्क) ज्ञात कीजिए। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।
संपर्क में आए: 19/3100 PYसंपर्क में नहीं आए: 20/6800 PY
IRR =
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकीकठिन
अभ्यास प्रश्न (काल्पनिक मान, नैदानिक मार्गदर्शन नहीं)। 10 000 लोगों की जाँच संवेदनशीलता 86% और विशिष्टता 89% वाले परीक्षण से की जाती है। रोग की व्यापकता 5% है। रोग वाले कितने लोग परीक्षण से छूट जाते हैं (गलत नेगेटिव, FN)?
N = 10 000p = 5%Se = 86%Sp = 89%
FN =
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 27, 15, 14, 24, 21, 33, 47।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 92 से अधिक है?
μ = 100σ = 8x = 92
P =
5.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 66.5 और मानक विचलन s = 8 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 13x̄ = 66.5s = 890%t(12) = 1.782
ऊपरी सीमा =
6.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 6 प्लॉट, माध्य उपज 85 kg, मानक विचलन 1.5 kg। प्लॉट समूह 2: 8 प्लॉट, माध्य 97 kg, मानक विचलन 8 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
6 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 12.66 और अंतरों का मानक विचलन 9.4 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 6d̄ = 12.66sd = 9.4
t =
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।
σ = 10E = 2.590%
n =
3विलयन
1.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: IRR = 2.08
संभाविता अनुपात और जोखिम माप: LR+ = संवेदनशीलता/(1 − विशिष्टता), LR− = (1 − संवेदनशीलता)/विशिष्टता। ट्रायल में EER और CER उपचार के साथ और बिना घटना दरें हैं: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER और NNT = 1/ARR, ऊपर की ओर पूर्णांकित। केस-कंट्रोल अध्ययन में केवल ऑड्स अनुपात OR = ad/(bc) उपयोग किया जा सकता है। घटना दर = नए मामले/व्यक्ति-समय।
घटना दरें
संपर्क में आए: 19/3100 = 6.129 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
संपर्क में नहीं आए: 20/6800 = 2.941 प्रति 1000 व्यक्ति-वर्ष
दर अनुपात
IRR = 6.129/2.941 = 2.084 ≈ 2.08
उत्तर
IRR = 2.08
2.साक्ष्य-आधारित अभ्यास सांख्यिकी
उत्तर: FN = 70
पूर्वानुमान मान व्यापकता पर निर्भर करते हैं: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) और NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)। संभाविता अनुपात के साथ: परीक्षण-पूर्व ऑड्स = p/(1 − p), परीक्षण-पश्चात ऑड्स = परीक्षण-पूर्व ऑड्स × LR, प्रायिकता = ऑड्स/(1 + ऑड्स)। N की जनसंख्या के लिए सही पॉज़िटिव = N·p·Se और गलत पॉज़िटिव = N·(1 − p)·(1 − Sp)। NNT = 1/(CER × RRR), ऊपर की ओर पूर्णांकित।
रोग सहित और रोग रहित
10 000·0.05 = 500
10 000 − 500 = 9500
गलत नेगेटिव
FN = 500·0.14 = 70
उत्तर
FN = 70
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 11.44
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −1
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
उत्तर
P = 0.8413
5.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 70.45
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 12, t = 1.782
त्रुटि सीमा
E = 1.782·8/√13 = 3.954
अंतराल
66.5 ± 3.954 → [62.55, 70.45]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 70.45
6.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = −17.95 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (5·1.5² + 7·8²)/12 = 38.27
sp = 6.186
त्रुटि सीमा
E = 1.782·6.186·√(1/6 + 1/8) = 5.954
अंतराल
−12 ± 5.954 → [−17.95, −6.046]
उत्तर
निचली सीमा = −17.95 kg
7.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 3.299
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 9.4/√6 = 3.838
परीक्षण सांख्यिकी
t = 12.66/3.838 = 3.299
उत्तर
t = 3.299
df = 5 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.571 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।
8.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 44
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।