FE Civil परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 30 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मृदा में प्रभावी प्रतिबल

कुल प्रतिबल: σ = Σγ_i·h_i
छिद्र जल दाब: u = γ_w·(z − z_w)
प्रभावी प्रतिबल: σ′ = σ − u
पानी: γ_w = 9.81 kN/m³

समेकन निषदन

सामान्य रूप से समेकित: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
अंतिम प्रतिबल: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
अति-समेकित, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
अति-समेकित, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
अति-समेकन अनुपात: OCR = σ′_p/σ′₀
समेकन का समय: t = T_v·H_dr²/c_v
जलनिकास पथ: H_dr = H/2 (द्वि-जलनिकास), H (एकल जलनिकास)
समय गुणांक: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP₁ = 55 kN पर 5 mP₂ = 50 kN पर 7 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP = 40 kN पर 2 mw = 8 kN/m, 1 से 2 m तक

R_B = kN

3.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव BC में बल F_BC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 3 mB, A से 3 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 25 kN

F_BC = kN

4.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

विस्तार = 6 mऊँचाई = 3 mB, A से 5 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 10 kNक्षैतिज भार = 25 kN ←

F_BC = kN

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

सरल आलंबित बीम A से x = 3 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M₀ = 20 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक दाईं ओर बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5 mM₀ = 20 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 3 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

35 kN @ 0 m30 kN @ 6 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 2 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 28 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 145 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 145 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक वृत्ताकार नली का बाहरी व्यास D = 290 mm और भीतरी व्यास d = 282 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

D = 290 mmd = 282 mm

r = mm

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 50 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_नीचे = MPa

13.मृदा में प्रभावी प्रतिबलमध्यम

दिखाई गई मृदा परिच्छेदिका के लिए बिंदु X पर ऊर्ध्वाधर प्रभावी प्रतिबल σ′ ज्ञात कीजिए।

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³रेत: γ_d = 16.5 kN/m³रेत: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.मृदा में प्रभावी प्रतिबलकठिन

z = 8.5 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³रेत: γ_d = 15.5 kN/m³रेत: γ_sat = 20.5 kN/m³मिट्टी (क्ले): γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.समेकन निषदनमध्यम

5 m मोटी एक अति-समेकित मृत्तिका परत के लिए C_c = 0.25, C_r = 0.03 और e₀ = 1.15 है। इसकी मध्य-गहराई पर प्रभावी ऊर्ध्वाधर प्रतिबल 115 kPa है और अति-समेकन अनुपात OCR = 3 है। एक नई इमारत मध्य-गहराई पर 180 kPa ऊर्ध्वाधर प्रतिबल जोड़ती है। प्राथमिक समेकन निषदन S mm में ज्ञात कीजिए।

H = 5 mC_c = 0.25C_r = 0.03e₀ = 1.15σ′₀ = 115 kPaOCR = 3Δσ = 180 kPa

S = mm

16.समेकन निषदनकठिन

6.5 m मोटी एक मृत्तिका परत का समेकन गुणांक c_v = 2 m²/year है। यह अपारगम्य चट्टान पर है और इसके ऊपर रेत है, इसलिए जल केवल ऊपर की ओर निकलता है। 90% औसत समेकन के लिए समय गुणांक T_v = 0.848 है। परत को 90% समेकन तक पहुँचने में कितने वर्ष t लगते हैं?

H = 6.5 mc_v = 2 m²/वर्षU = 90%T_v = 0.848एकल जलनिकास

t = वर्ष

17.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 200 mm आंतरिक व्यास वाले 300 m लंबे क्षैतिज पाइप से 2.3 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 2.3 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 100 m लंबे, 150 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 0.2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 20 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक आयताकार परिष्कृत कंक्रीट वाहिका 3.5 m चौड़ी है। जल 1.4 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.012 और तल ढाल S = 0.002 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 3.5 my = 1.4 mn = 0.012S = 0.002

Q = m³/s

22.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

2.5 m तल चौड़ाई और 3:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाली एक समलंबाकार बजरी वाहिका को 1.7 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 14 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.025। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

Q = 14 m³/sb = 2.5 my = 1.7 mz = 3n = 0.025

S = m/m

23.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक पंप 26 m शीर्ष के विरुद्ध 60 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। पंप दक्षता 78% है और उसे चलाने वाली विद्युत मोटर की दक्षता 88% है। g = 9.81 m/s² लें। मोटर द्वारा ली गई विद्युत शक्ति P_el kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 60 L/sH = 26 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 75 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 21 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 200 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 65% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 75 L/sΔz = 21 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आप सतत चक्रवृद्धि के साथ 4% प्रति वर्ष पर €5 000 निवेश करते हैं। 19 वर्षों बाद मूल्य FV ज्ञात कीजिए।

PV = €5 000r = 4%t = 19

FV = €

26.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आपको 5 वर्षों में €100 000 चाहिए। आप हर महीने के अंत में 4.2% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि वाले खाते में समान राशि बचाते हैं। मासिक जमा A ज्ञात कीजिए।

FV = €100 0004.2% / 12N = 60

A = €

27.NPV और IRRमध्यम

€45 000 का निवेश वर्ष 1 से 3 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €17 000, €9 000, €20 000। पूँजी की लागत 10% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 9 000CF₃ = 20 000

NPV = €

28.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €40 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €25 000, €24 000, €18 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −40 000CF₁ = 25 000CF₂ = 24 000CF₃ = 18 000

IRR = %

29.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.5467 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.5467

z =

30.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 25% आते हैं (25वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 42.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 50·7

R_B = 625/10 = 62.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 62.5 = 42.5 kN

उत्तर

R_A = 42.5 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 15.33 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, x̄ = 1.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 8·1·1.5

R_B = 92/6 = 15.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 15.33 = 32.67 kN

उत्तर

R_B = 15.33 kN

3.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_BC = −18.22 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·3 → C_y = 9.375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 9.375 = 15.63 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9.375/0.5145 = −18.22 kN

उत्तर

F_BC = −18.22 kN (संपीडन)

4.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_BC = 4.392 kN

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 − 25·3 → C_y = −4.167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −4.167 = 14.17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

जोड़ C

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−4.167/0.9487 = 4.392 kN

उत्तर

F_BC = 4.392 kN (तनाव)

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 8 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: R_B·L − M₀ = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: R_A + R_B = 0।

R_B = M₀/L = 20/5 = 4 kN (ऊपर की ओर)

R_A = −R_B = −4 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक दाईं ओर काटें

बाएँ भाग में अब R_A और बलयुग्म हैं।

M_x = R_A·a + M₀ = −4·3 + 20 = 8 kN·m

उत्तर

M_x = 8 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 46.67 kN, R₂ = 48.33 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −23.33, M_D = −41.67, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = −60 kN·m

7.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 8.009 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 2000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 2000·2500³/(3·2.52 × 10¹²) = 4.134 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 3.875 mm

जोड़ें

δ = 4.134 + 3.875 = 8.009 mm

उत्तर

δ = 8.009 mm

8.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 1.206 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 28000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·2500³/(48·8.4 × 10¹²) = 1.085 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 0.1211 mm

जोड़ें

δ_max = 1.085 + 0.1211 = 1.206 mm

उत्तर

δ_max = 1.206 mm

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 47 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·1000 = 700 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/700² = 46998 N = 47 kN

उत्तर

P_cr = 47 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 146.6 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 146.6 mm

उत्तर

d = 146.6 mm

जाँच: तनुता KL/r = 163.7 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 101.1 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

A = π(D² − d²)/4 = 3594 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.675 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(3.675 × 10⁷/3594) = 101.1 mm

उत्तर

r = 101.1 mm

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 364.1 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212.5 mm

वेब: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·212.5 + 2000·100)/6500 = 177.9 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 180·25³/12 + 4500·(212.5 − 177.9)² = 5.626 × 10⁶ mm⁴

वेब: 10·200³/12 + 2000·(100 − 177.9)² = 1.88 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.626 × 10⁶ + 1.88 × 10⁷ = 2.443 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 177.9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·177.9/2.443 × 10⁷ = 364.1 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 364.1 MPa

13.मृदा में प्रभावी प्रतिबल

उत्तर: σ′ = 51.38 kPa

प्रभावी प्रतिबल (टर्ज़ाघी): मृदा कंकाल σ′ = σ − u वहन करता है। कुल प्रतिबल σ बिंदु के ऊपर की हर चीज़ का भार है, Σγ·h, जल स्तर के ऊपर शुष्क और नीचे संतृप्त इकाई भार का उपयोग करते हुए। जल स्तर के नीचे छिद्र जल दाब द्रवस्थैतिक है: u = γ_w·(जल स्तर के नीचे गहराई)।

कुल प्रतिबल

X के ऊपर हर मृदा पट्टी का भार जोड़ें। जल स्तर के ऊपर शुष्क, नीचे संतृप्त इकाई भार का उपयोग करें।

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·2 + 19·2 = 71 kPa

छिद्र जल दाब

जल दाब जल स्तर के नीचे गहराई के साथ बढ़ता है।

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

प्रभावी प्रतिबल

σ′ = σ − u = 71 − 19.62 = 51.38 kPa

उत्तर

σ′ = 51.38 kPa

14.मृदा में प्रभावी प्रतिबल

उत्तर: σ′ = 107.4 kPa

कुल प्रतिबल

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15.5·5 + 20.5·1 + 17.5·2.5 = 141.8 kPa

छिद्र जल दाब

जल दाब जल स्तर के नीचे गहराई के साथ बढ़ता है।

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3.5 = 34.34 kPa

प्रभावी प्रतिबल

σ′ = σ − u = 141.8 − 34.34 = 107.4 kPa

उत्तर

σ′ = 107.4 kPa

15.समेकन निषदन

उत्तर: S = 28.54 mm

H मोटाई वाली मृत्तिका परत का प्राथमिक समेकन, परत के मध्य पर प्रभावी प्रतिबल का उपयोग करके: σ′_f = σ′₀ + Δσ। सामान्य रूप से समेकित मृत्तिका: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)। अति-समेकित मृत्तिका पूर्व-समेकन दाब σ′_p तक C_r के अनुदिश पुनःसंपीडित होती है और उसके आगे ही C_c का अनुसरण करती है। समय: t = T_v·H_dr²/c_v, जहाँ जलनिकास पथ H_dr, H/2 है जब जल ऊपर और नीचे दोनों ओर निकल सकता है, और H जब केवल एक ओर जलनिकास होता है।

पूर्व-समेकन दाब

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·115 = 345 kPa

पूर्व-समेकन दाब से तुलना करें

σ′_f = 115 + 180 = 295 kPa ≤ 345 kPa

निषदन

मृत्तिका अपनी पुनःसंपीडन रेखा पर रहती है।

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·5/(1 + 1.15)·log₁₀(295/115) = 28.54 mm

उत्तर

S = 28.54 mm

16.समेकन निषदन

उत्तर: t = 17.91 वर्ष

जलनिकास पथ

H_dr = H = 6.5 m

समय

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·6.5²/2 = 17.91 वर्ष

उत्तर

t = 17.91 वर्ष

17.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 85.84 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

उत्तर

F = 85.84 kN

18.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.633 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 2/(2.5·6) = 2.633 m

उत्तर

y_cp = 2.633 m

19.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 99.19 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.2)·2.3²/(2·9.81) = 10.11 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·10.11 = 99187 Pa = 99.19 kPa

उत्तर

Δp = 99.19 kPa

20.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 1.021 m

वेग

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

कुल शीर्ष हानि

h_f = 13.33·0.06529 = 0.8705 m

h_m = 2.3·0.06529 = 0.1502 m

Δz = h_f + h_m = 1.021 m

उत्तर

Δz = 1.021 m

21.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 15.44 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = b·y = 3.5·1.4 = 4.9 m²

P = b + 2y = 3.5 + 2·1.4 = 6.3 m

R = A/P = 0.7778 m

वेग

V = (1/0.012)·0.7778^2/3·0.002^1/2 = 3.152 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 4.9·3.152 = 15.44 m³/s

उत्तर

Q = 15.44 m³/s

22.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.0007591 m/m

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 3·1.7)·1.7 = 12.92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.7·√(1 + 3²) = 13.25 m

R = A/P = 0.975 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·14/(12.92·0.9832) = 0.02755

S = 0.02755² = 0.0007591

उत्तर

S = 0.0007591

यह प्रति किलोमीटर 0.7591 m की गिरावट है।

23.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_el = 22.3 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·26 = 15.3 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = 15.3/0.78 = 19.62 kW

विद्युत शक्ति

P_el = 19.62/0.88 = 22.3 kW

उत्तर

P_el = 22.3 kW

24.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 32.98 kW

वेग

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.2905 = 8.134 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 21 + 8.134 = 29.13 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·29.13/0.65 = 32.98 kW

उत्तर

P_shaft = 32.98 kW

25.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 10691 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

घातांक

r·t = 0.04·19 = 0.76

e^0.76 = 2.138

भविष्य मूल्य

FV = 5 000·2.138 = €10 691.38

उत्तर

FV = €10 691.38

26.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: A = 1501 €

मासिक दर और जमाओं की संख्या

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·5 = 60

जमा

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.0035/(1.233 − 1) = €1 500.69

उत्तर

A = €1 500.69

27.NPV और IRR

उत्तर: NPV = −7081 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 17 000/1.1 = 15 454.55

CF₂/(1 + 0.1)² = 9 000/1.21 = 7 438.02

CF₃/(1 + 0.1)³ = 20 000/1.331 = 15 026.30

जोड़ें

NPV = €−7 081.14

उत्तर

NPV = €−7 081.14

NPV ऋणात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से कम कमाती है।

28.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 33.03 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(30%) = 1 624.94

NPV(35%) = −996.80

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 30 + 5·1 624.94/(1 624.94 − (−996.80)) = 33.1%

सटीक: NPV(33.03%) = 0 → IRR = 33.03%

उत्तर

IRR = 33.03%

29.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.75

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.5467)/2 = 0.7734

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7734 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.75

उत्तर

z = 0.75

30.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 173.3 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

वापस x पर

x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm

उत्तर

x = 173.28 cm

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