FE Civil परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 30 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मृदा में प्रभावी प्रतिबल

कुल प्रतिबल: σ = Σγ_i·h_i
छिद्र जल दाब: u = γ_w·(z − z_w)
प्रभावी प्रतिबल: σ′ = σ − u
पानी: γ_w = 9.81 kN/m³

समेकन निषदन

सामान्य रूप से समेकित: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
अंतिम प्रतिबल: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
अति-समेकित, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
अति-समेकित, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
अति-समेकन अनुपात: OCR = σ′_p/σ′₀
समेकन का समय: t = T_v·H_dr²/c_v
जलनिकास पथ: H_dr = H/2 (द्वि-जलनिकास), H (एकल जलनिकास)
समय गुणांक: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP₁ = 40 kN पर 1.5 mP₂ = 50 kN पर 4 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 25 kN पर 3 mw = 5 kN/m, 1 से 4 m तक

R_B = kN

3.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

D: 35 kN ↓

1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य BG
13सदस्य DG

4.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव AB में बल F_AB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 3 mB, A से 5 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 35 kNक्षैतिज भार = 15 kN ←

F_AB = kN

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 3 kN/m, 0 से 6 m तकx = 2.5 m

V_x = kN

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

20 kN @ 6 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 19 kNw = 20 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 160 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 80 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 20 mm मोटी हैं। निचली कोर से केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

b = 160 mmh = 80 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

200 mm × 200 mm की एक प्लेट में 40 mm चौड़ा और 50 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 70 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 200 mmh = 200 mmकटाव: 40 × 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.मृदा में प्रभावी प्रतिबलमध्यम

दिखाई गई मृदा परिच्छेदिका के लिए बिंदु X पर ऊर्ध्वाधर प्रभावी प्रतिबल σ′ ज्ञात कीजिए।

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³रेत: γ_d = 15.5 kN/m³रेत: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.मृदा में प्रभावी प्रतिबलकठिन

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³रेत: γ_d = 15.5 kN/m³रेत: γ_sat = 19.5 kN/m³मिट्टी (क्ले): γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.समेकन निषदनमध्यम

5 m मोटी एक अति-समेकित मृत्तिका परत के लिए C_c = 0.25, C_r = 0.03 और e₀ = 0.95 है। इसकी मध्य-गहराई पर प्रभावी ऊर्ध्वाधर प्रतिबल 90 kPa है और पूर्व-समेकन दाब 170 kPa है। एक नई इमारत मध्य-गहराई पर 120 kPa ऊर्ध्वाधर प्रतिबल जोड़ती है। प्राथमिक समेकन निषदन S mm में ज्ञात कीजिए।

H = 5 mC_c = 0.25C_r = 0.03e₀ = 0.95σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.समेकन निषदनकठिन

3 m मोटी एक मृत्तिका परत का समेकन गुणांक c_v = 1.5 m²/year है। यह दो रेत परतों के बीच है, इसलिए जल ऊपर और नीचे दोनों ओर निकलता है। 90% औसत समेकन के लिए समय गुणांक T_v = 0.848 है। परत को 90% समेकन तक पहुँचने में कितने वर्ष t लगते हैं?

H = 3 mc_v = 1.5 m²/वर्षU = 90%T_v = 0.848द्वि-जलनिकास

t = वर्ष

17.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 200 mm आंतरिक व्यास वाले 800 m लंबे क्षैतिज पाइप से 1.5 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 1.5 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

150 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015) वाला 100 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 5)। g = 9.81 m/s² लें। 50 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक आयताकार साफ़ मिट्टी वाहिका 2 m चौड़ी है। जल 2 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.022 और तल ढाल S = 0.005 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 2 my = 2 mn = 0.022S = 0.005

Q = m³/s

22.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

600 mm आंतरिक व्यास (मैनिंग n = 0.013) वाले एक कंक्रीट सीवर को ठीक पूरा भरा बहते समय 1.2 m/s का स्व-सफ़ाई वेग पाना है। न्यूनतम ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

D = 600 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.पंप और पंप शक्तिमध्यम

85% दक्षता वाला एक पंप 52 m शीर्ष के विरुद्ध 15 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sH = 52 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 120 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 6 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 2 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 2

H = m

25.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आपको 9 वर्षों में €15 000 चाहिए। एक खाता प्रति वर्ष 5% देता है, ब्याज मासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। आज आपको कितना जमा करना होगा? वर्तमान मूल्य PV ज्ञात करें।

FV = €15 0005% / 12n = 9

PV = €

26.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 2.4% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर €15 000 उधार लेते हैं, और हर महीने के अंत में €650 चुकाते हैं। ऋण चुकने तक कितने महीने लगते हैं (अंतिम किस्त छोटी हो सकती है)? किस्तों की संख्या N बताइए।

P = €15 000A = €6502.4% / 12

N = किस्तें

27.NPV और IRRमध्यम

एक परियोजना की लागत आज €400 000 है। यह पहले वर्ष के अंत में €26 000 उत्पन्न करती है, और फिर नकदी प्रवाह हमेशा के लिए 3% प्रति वर्ष बढ़ता है। पूँजी की लागत 9% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात कीजिए।

C₀ = €400 000CF₁ = €26 000g = 3%r = 9%

NPV = €

28.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €40 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €15 500, €18 500, €21 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 18 500CF₃ = 21 000

IRR = %

29.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 5 का कुल द्रव्यमान 123.3 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5< 123.3 kg

P =

30.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 38 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1.5 + 50·4

R_B = 260/5 = 52 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 52 = 38 kN

उत्तर

R_A = 38 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 28.13 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 5·3·2.5

R_B = 112.5/4 = 28.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 28.13 = 11.88 kN

उत्तर

R_B = 28.13 kN

3.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य CG

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि C

BC और CD एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 8.75 kN (T), BC: 17.5 kN (T), CD: 17.5 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 8.75 kN (C), GH: 26.25 kN (C), AF: 12.37 kN (C), HE: 37.12 kN (C), BF: 8.75 kN (T), CG: 0, DH: 26.25 kN (T), BG: 12.37 kN (C), DG: 12.37 kN (T)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: CG

4.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AB = −25.92 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 − 15·3 → C_y = 21.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 21.67 = 13.33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

जोड़ A

मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13.33/0.5145 = −25.92 kN

उत्तर

F_AB = −25.92 kN (संपीडन)

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = 1.5 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 9 − 3·2.5 = 1.5 kN

उत्तर

V_x = 1.5 kN

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 3 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 14 kN, R₂ = 51 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 28, M_D = 42 kN·m, M_E = 11, M_F = −20, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 42 kN·m

7.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 4.051 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 19000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 19000·1500³/(3·8.4 × 10¹²) = 2.545 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 1.507 mm

जोड़ें

δ = 2.545 + 1.507 = 4.051 mm

उत्तर

δ = 4.051 mm

8.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.674 × 10⁷ mm⁴

I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 16.74 × 10⁶ mm⁴

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 10.01 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN

उत्तर

P_cr = 10.01 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 69.09 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

उत्तर

σ_cr = 69.09 MPa

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: ȳ = 27.14 mm

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

दो भुजाएँ: A₂ = 2·20·60 = 2400 mm², y₂ = 20 + 60/2 = 50 mm

केंद्रक

ȳ = (3200·10 + 2400·50)/5600 = 27.14 mm

उत्तर

ȳ = 27.14 mm

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 131 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (40000·100 − 2000·70)/(40000 − 2000) = 101.6 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

200·200³/12 + 40000·−1.579² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

40·50³/12 + 2000·−31.58² = 2.411 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 131 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 131 × 10⁶ mm⁴

13.मृदा में प्रभावी प्रतिबल

उत्तर: σ′ = 100.8 kPa

प्रभावी प्रतिबल (टर्ज़ाघी): मृदा कंकाल σ′ = σ − u वहन करता है। कुल प्रतिबल σ बिंदु के ऊपर की हर चीज़ का भार है, Σγ·h, जल स्तर के ऊपर शुष्क और नीचे संतृप्त इकाई भार का उपयोग करते हुए। जल स्तर के नीचे छिद्र जल दाब द्रवस्थैतिक है: u = γ_w·(जल स्तर के नीचे गहराई)।

कुल प्रतिबल

X के ऊपर हर मृदा पट्टी का भार जोड़ें। जल स्तर के ऊपर शुष्क, नीचे संतृप्त इकाई भार का उपयोग करें।

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·4 + 19.5·4 = 140 kPa

छिद्र जल दाब

जल दाब जल स्तर के नीचे गहराई के साथ बढ़ता है।

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

प्रभावी प्रतिबल

σ′ = σ − u = 140 − 39.24 = 100.8 kPa

उत्तर

σ′ = 100.8 kPa

14.मृदा में प्रभावी प्रतिबल

उत्तर: σ′ = 91.52 kPa

कुल प्रतिबल

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·1 + 19.5·5 + 19·3 = 170 kPa

छिद्र जल दाब

जल दाब जल स्तर के नीचे गहराई के साथ बढ़ता है।

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

प्रभावी प्रतिबल

σ′ = σ − u = 170 − 78.48 = 91.52 kPa

उत्तर

σ′ = 91.52 kPa

15.समेकन निषदन

उत्तर: S = 80.07 mm

H मोटाई वाली मृत्तिका परत का प्राथमिक समेकन, परत के मध्य पर प्रभावी प्रतिबल का उपयोग करके: σ′_f = σ′₀ + Δσ। सामान्य रूप से समेकित मृत्तिका: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)। अति-समेकित मृत्तिका पूर्व-समेकन दाब σ′_p तक C_r के अनुदिश पुनःसंपीडित होती है और उसके आगे ही C_c का अनुसरण करती है। समय: t = T_v·H_dr²/c_v, जहाँ जलनिकास पथ H_dr, H/2 है जब जल ऊपर और नीचे दोनों ओर निकल सकता है, और H जब केवल एक ओर जलनिकास होता है।

पूर्व-समेकन दाब से तुलना करें

σ′_f = 90 + 120 = 210 kPa > 170 kPa

निषदन

σ′_p तक पुनःसंपीडन, उसके आगे मूल संपीडन।

S = 0.03·5/(1 + 0.95)·log₁₀(170/90) + 0.25·5/(1 + 0.95)·log₁₀(210/170)

S = 21.25 + 58.83 = 80.07 mm

उत्तर

S = 80.07 mm

16.समेकन निषदन

उत्तर: t = 1.272 वर्ष

जलनिकास पथ

H_dr = H/2 = 3/2 = 1.5 m

समय

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·1.5²/1.5 = 1.272 वर्ष

उत्तर

t = 1.272 वर्ष

17.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 39.24 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

उत्तर

F = 39.24 kN

18.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 394 kN

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.25·7.5 = 394 kN

उत्तर

F = 394 kN

19.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 90 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(800/0.2)·1.5²/(2·9.81) = 9.174 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·9.174 = 90000 Pa = 90 kPa

उत्तर

Δp = 90 kPa

20.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 7.222 m

वेग

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.015·100/0.15 = 10

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 10 + 6.7)·0.408 = 7.222 m

उत्तर

H = 7.222 m

21.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 9.811 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = b·y = 2·2 = 4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2 = 6 m

R = A/P = 0.6667 m

वेग

V = (1/0.022)·0.6667^2/3·0.005^1/2 = 2.453 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 4·2.453 = 9.811 m³/s

उत्तर

Q = 9.811 m³/s

22.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.003053 m/m

द्रवीय त्रिज्या

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.2823)² = 0.003053

उत्तर

S = 0.003053

यह प्रति किलोमीटर 3.053 m की गिरावट है।

23.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 9.002 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·52 = 7.652 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 7.652/0.85 = 9.002 kW

उत्तर

P_shaft = 9.002 kW

24.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 10.26 m

वेग

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 2)·0.3046 = 4.264 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें खुली और लगभग विराम में हैं, इसलिए दाब और वेग पद हट जाते हैं।

H = Δz + h_L = 6 + 4.264 = 10.26 m

उत्तर

H = 10.26 m

25.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 9573 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·9 = 108

वर्तमान मूल्य

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.567 = €9 573.37

उत्तर

PV = €9 573.37

26.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: N = 24 किस्तें

वार्षिकी सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें

i = 0.002

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.002/650 = 0.9538

लघुगणक से हल करें

N = −ln(0.9538)/ln(1.002) = 23.65

पूरी किस्तों तक ऊपर पूर्णांकित करें

23 पूरी किस्तें थोड़ा शेष छोड़ती हैं, जिसे अंतिम, छोटी किस्त चुका देती है।

N = 24

उत्तर

N = 24 किस्तें

27.NPV और IRR

उत्तर: NPV = 33333 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

नकदी प्रवाहों का मूल्य

PV = 26 000/(0.09 − 0.03) = 433 333.33

NPV

NPV = 433 333.33 − 400 000 = €33 333.33

उत्तर

NPV = €33 333.33

NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।

28.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 16.82 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(15%) = 1 274.76

NPV(20%) = −2 083.33

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 15 + 5·1 274.76/(1 274.76 − (−2 083.33)) = 16.9%

सटीक: NPV(16.82%) = 0 → IRR = 16.82%

उत्तर

IRR = 16.82%

29.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.06426

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

मानकीकृत करें

z = (123.3 − 125)/1.118 = −1.52

प्रायिकता

P = Φ(−1.52) = 0.06426

उत्तर

P = 0.06426

30.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9868

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

उत्तर

P = 0.9868

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