FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह दीवार से 2.5 m तक समान वितरित भार w और दीवार से 1.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। दीवार पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 70 kN पर 1.5 mw = 6 kN/m, 0 से 2.5 m तक

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

एक संयुक्त बीम A पर दीवार में स्थिर है, C पर (A से 4 m) एक आंतरिक कब्ज़ा (हिंज) है और D पर (A से 10 m) रोलर पर टिका है। यह A से 5 m पर बिंदु भार P, पूरे भाग CD पर समान वितरित भार w और A से 3 m पर बिंदु भार Q वहन करता है। रोलर पर प्रतिक्रिया R_D ज्ञात कीजिए।

AC = 4 mAD = 10 mP = 70 kN पर 5 mw = 6 kN/m, 4 से 10 m तकQ = 40 kN पर 3 m

R_D = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 35 kNखंड 1: Ø35 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)

δ = mm

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

20 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 2.5 m और B से 0.8 m पर C पर 100 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। खंड C का घूर्णन कोण φ_C डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 20 mmT₀ = 100 N·ma = 2.5 mb = 0.8 mG = 80 GPa

φ_C = °

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

30 kN @ 3 m15 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 5 mw = 10 kN/m, 0 से 2 m तक

M_max = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 110 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 160 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 160 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/300 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 38 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 95 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 19 m/s से क्षैतिज से 35° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वह चाल v ज्ञात कीजिए जिससे यह ज़मीन से टकराती है।

v₀ = 19 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। ढलान के साथ 3 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 25°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 1 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 15 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 2 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 15 mmx₄ = 2 mmn = 4

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 20 kN/m और k₂ = 20 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 325 °C पर गर्म भंडार और 20 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 325 °CT_L = 20 °C

η_max = %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप बाहर 7 °C होने पर घर को 22 °C पर रखता है, और घर को 12 kW ऊष्मा देता है। अधिकतम संभव निष्पादन गुणांक COP_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 14 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 320 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 14r_c = 1.8T₁ = 320 Kk = 1.4

T₃ = K

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 6 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 288 K पर संपीडक में और 1400 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 6T₁ = 288 KT₃ = 1400 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 150 mm से 100 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 310 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 2 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 340 kPa और वेग 0.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 100 mm आंतरिक व्यास वाले 200 m लंबे पाइप से 10 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 10 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

300 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022) वाला 300 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 75 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक पंप 14 m शीर्ष के विरुद्ध 30 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। पंप दक्षता 72% है और उसे चलाने वाली विद्युत मोटर की दक्षता 92% है। g = 9.81 m/s² लें। मोटर द्वारा ली गई विद्युत शक्ति P_el kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 30 L/sH = 14 mη_pump = 72%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 100 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 7 m ऊँची है। पाइप 100 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 200 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 100 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 6p_tank = 200 kPa

H = m

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार खनिज ऊन की 100 mm और जिप्सम बोर्ड की 100 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 15 m²। बाहरी फलक 25 °C और 8 °C पर हैं। दोनों परतों के अंतरापृष्ठ पर तापमान T_i ज्ञात कीजिए।

L₁ = 100 mm, k₁ = 0.04 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²T₁ = 25 °CT₃ = 8 °C

T_i = °C

32.ऊष्मा चालनकठिन

200 mm लकड़ी और 100 mm जिप्सम बोर्ड की दीवार 21 °C वाले कमरे को -5 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 8 W/(m²·K) और बाहर 25 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 15 m² है। दीवार का समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक U ज्ञात कीजिए।

L₁ = 200 mm, k₁ = 0.17 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 25 W/(m²·K)T_room = 21 °CT_out = -5 °C

U = W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर एक 0.37 kW मोटर 2 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 72 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 50% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण T_w ज्ञात कीजिए।

z = 2N_w = 72n = 1440 rpmP = 0.37 kWη = 50%

T_w = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 3000 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (50 दाँत) गियर B (80 दाँत) को चलाता है। गियर C (16 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (60 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 3000 rpmA = 50B = 80C = 16D = 60

n_out = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = (5s + 36)/(s² + 10s + 25) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए और f(0.4) का मान निकालिए।

F(s) = (5s + 36)/(s² + 10s + 25)t = 0.4 s

f(0.4) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 7y′ + 12y = 6·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 2 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 6·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.2 s

y(0.2) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

संयंत्र G(s) = 4/(s + 7) में लब्धि H₁ = 4 वाला एक भीतरी (गौण) ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप है। नियंत्रक लब्धि K = 6 और एक बाहरी एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप तंत्र को बंद करते हैं। संवृत-लूप ध्रुव p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 4/(s + 7)H₁ = 4K = 6

p =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

संयंत्र G(s) = 80/(s(s + 2)) सेंसर लब्धि H = 1 वाले ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। संवृत-लूप ध्रुव सम्मिश्र हैं। उनका वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 80/(s(s + 2))H = 1

σ =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 51/(s² + 4s + 17) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। t_s ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय t_s ज्ञात कीजिए।

G(s) = 51/(s² + 4s + 17)

t_s = s

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक द्रव्यमान m = 4 kg एक स्प्रिंग k = 200 N/m पर एक श्यान अवमंदक c = 8 N·s/m के साथ लटका है (m·x″ + c·x′ + k·x = F)। संतुलन में विराम की अवस्था में अचानक एक स्थिर बल F = 50 N लगाया जाता है। सबसे बड़ा विस्थापन x_max mm में ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgk = 200 N/mc = 8 N·s/mF = 50 N

x_max = mm

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

एक एकांक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/((s + 2)(s + 5)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो सोपान निवेश के लिए 4 % की स्थायी-अवस्था त्रुटि दे।

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))e_ss = 4 %

K =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PI नियंत्रक C(s) = 2 + 4/s संयंत्र G(s) = 20/((s + 2)(s + 10)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। रैंप निवेश r(t) = 5t के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

C(s) = 2 + 4/sG(s) = 20/((s + 2)(s + 10))r(t) = 5t

e_ss =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 85 kN

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A देता है। ΣF_y = 0 से R_A मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से M_A = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

वितरित भार का परिणामी

W = 6·2.5 = 15 kN, x̄ = 1.25 m

ऊर्ध्वाधर संतुलन

R_A = P + W = 70 + 15 = 85 kN

उत्तर

R_A = 85 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_D = 29.67 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए। आंतरिक कब्ज़ा बंकन आघूर्ण वहन नहीं कर सकता, जिससे एक अतिरिक्त समीकरण मिलता है: किसी भी ओर के बलों का कब्ज़े के परितः आघूर्ण शून्य है।

भाग CD

कब्ज़े पर कोई आघूर्ण नहीं है, इसलिए केवल CD पर C के परितः आघूर्ण संतुलित होने चाहिए।

W = 6·6 = 36 kN पर 3 m से C

ΣM_C = 0: R_D·6 = 70·1 + 36·3

R_D = 29.67 kN

V_C = 106 − 29.67 = 76.33 kN

उत्तर

R_D = 29.67 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 4897 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 45·1000/78.54 = 573 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 573/117000 = 0.004897 = 4897 µε

उत्तर

ε = 4897 µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.732 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 36.38 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 36.38·1500/70000 = 0.7795 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111.4·1000/117000 = 0.9522 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.732 mm

उत्तर

δ = 1.732 mm

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 0.5845 °

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·251327) = 0.0102 rad

φ = 0.0102·180/π = 0.5845°

उत्तर

φ = 0.5845°

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 2.763 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल T_A + T_B = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।

संतुलन और संगतता

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·0.8/3.3 = 24.24 N·m

T_B = 100·2.5/3.3 = 75.76 N·m

C का घूर्णन

खंड AC का उपयोग करें: यह A पर स्थिर है और T_A वहन करता है।

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 24242·2500/(80000·15708) = 0.04823 rad = 2.763°

उत्तर

φ_C = 2.763°

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 3 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 33.75 kN, R₂ = 41.25 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 33.75, M_C = 67.5, M_D = 93.75 kN·m, M_E = 75, M_F = 41.25, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 93.75 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 12.8 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, x̄ = 1 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2·1

R_B = 20/5 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 4 = 16 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल R_A से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 16/10 = 1.6 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 16·1.6 − 10·1.6²/2 = 12.8 kN·m

उत्तर

M_max = 12.8 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −28.15 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 20/36.06 = 0.5547, sin 2θ_s = −30/36.06 = −0.8321

2θ_s = atan2(−30, 20) = −56.31°

अवयव पर कोण

θ_s = −28.15°

जाँच: θ_s − θ_p = −28.15 − 16.85 = −45°

उत्तर

θ_s = −28.15°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 51.95 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 65 + 95·0.1736 + −30·0.9848 = 51.95 MPa

उत्तर

σ_θ = 51.95 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 37.2 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 8·5000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 37.2 mm

उत्तर

δ = 37.2 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 204.3 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16.67) = 8.878 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·8.878 × 10⁷/125)^1/3 = 204.3 mm

उत्तर

h_req = 204.3 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 23.55 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·1500 = 750 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23.55 kN

उत्तर

P_cr = 23.55 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 11.99 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

उत्तर

σ_cr = 11.99 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 20.1 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/38² = 0.6454

कोण

2θ = 40.2° → θ = 20.1°

उत्तर

θ = 20.1°

दूसरा हल 90° − θ = 69.9° है।

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v = 35.27 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 19·cos 35° = 15.56 m/s

v_y0 = 19·sin 35° = 10.9 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(10.9² + 2·9.81·45) = 31.65 m/s

टकराने की चाल

v = √(15.56² + 31.65²) = 35.27 m/s

उत्तर

v = 35.27 m/s

ऊर्जा से जाँचें: v² = v₀² + 2gh।

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 3.769 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 3.769 m/s

उत्तर

v = 3.769 m/s

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 2.712 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.25·2.5) = 7.357 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.375) = 2.712 m/s

उत्तर

v = 2.712 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.07991

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(15/2) = 0.5037

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5037/√(39.48 + 0.2537) = 0.07991

उत्तर

ζ = 0.07991

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 6.366 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 20 + 20 = 40 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

उत्तर

f_n = 6.366 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 50.99 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/598.1 = 50.99 %

उत्तर

η_max = 50.99 %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: COP_max = 19.68

परम तापमान

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

उत्तर

COP_max = 19.68

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 1655 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 320·14^0.4 = 919.6 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 1.8·919.6 = 1655 K

उत्तर

T₃ = 1655 K

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 370.2 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T₂ = 288·6^0.2857 = 480.5 K

T₄ = 1400/6^0.2857 = 839.1 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(480.5 − 288) = 193.5 kJ/kg

w_t = 1.005·(1400 − 839.1) = 563.7 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 563.7 − 193.5 = 370.2 kJ/kg

उत्तर

w_net = 370.2 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 34.32%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 297.3 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(150/100)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−12.7) = 297.3 kPa

उत्तर

p₂ = 297.3 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 317.2 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/40)² = 2.637 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 2.637²)/1000 = −3.195 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−3.195) − 19.62 = 317.2 kPa

उत्तर

p₂ = 317.2 kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 4.131 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1.273²/(2·9.81) = 0.08263 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(200/0.1)·1.273²/(2·9.81) = 4.131 m

उत्तर

h_f = 4.131 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 1.515 m

वेग

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 22 + 3.4)·0.05738 = 1.515 m

उत्तर

H = 1.515 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_el = 6.22 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·14 = 4.12 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = 4.12/0.72 = 5.723 kW

विद्युत शक्ति

P_el = 5.723/0.92 = 6.22 kW

उत्तर

P_el = 6.22 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 30.18 m

वेग

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.2 + 6)·0.2115 = 2.792 m

दाब शीर्ष

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 20.39 + 2.792 = 30.18 m

उत्तर

H = 30.18 m

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_i = 11.24 °C

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (100/1000)/(0.04·15) = 0.1667 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0.17·15) = 0.03922 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 17/0.2059 = 82.57 W

अंतरापृष्ठ तापमान

पहली परत में तापमान Q̇·R₁ घटता है।

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 25 − 82.57·0.1667 = 11.24 °C

उत्तर

T_i = 11.24 °C

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: U = 0.5182 W/(m²·K)

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·15) = 0.008333 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (200/1000)/(0.17·15) = 0.07843 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0.17·15) = 0.03922 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(25·15) = 0.002667 K/W

ΣR = 0.1286 K/W

समग्र गुणांक

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0.1286) = 0.5182 W/(m²·K)

उत्तर

U = 0.5182 W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_w = 44.17 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1440·2/72 = 40 rpm

निर्गत बलाघूर्ण

ω_w = 2π·40/60 = 4.189 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.5·370/4.189 = 44.17 N·m

उत्तर

T_w = 44.17 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 500 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 3000·50/80 = 1875 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1875·16/60 = 500 rpm

उत्तर

n_out = 500 rpm

कुल अनुपात = 6 : 1

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.4) = 1.272

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 10s + 25 = (s + 5)²

आंशिक भिन्न

5s + 36 = 5(s + 5) + 11

F(s) = 5/(s + 5) + 11/(s + 5)²

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 5·e^−5t + 11·t·e^−5t

f(0.4) = (5 + 11·0.4)·e^−5·0.4 = 1.272

उत्तर

f(0.4) = 1.272

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.2) = 0.1527

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 12/(s(s + 3)(s + 4))

आंशिक भिन्न

A = 12/(3·4) = 1

B = 12/((−3)·1) = −4

C = 12/((−4)·(−1)) = 3

निर्गम

y(t) = 1 − 4·e^−3t + 3·e^−4t

y(0.2) = 0.1527

उत्तर

y(0.2) = 0.1527

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: p = −47

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

भीतरी लूप

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 4/(s + 7 + 4·4) = 4/(s + 23)

बाहरी लूप

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 24/(s + 23 + 24) = 24/(s + 47)

परिणाम

p = −47

उत्तर

p = −47

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: σ = −1

अभिलाक्षणिक समीकरण

s(s + 2) + 80·1 = 0 → s² + 2s + 80 = 0

मूल

s = −1 ± j·√(80 − 1) = −1 ± j8.888

σ = −1

उत्तर

σ = −1

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_s = 2 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 17 → ωₙ = 4.123 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·4.123) = 0.4851

परिणाम

ζωₙ = 2 → t_s ≈ 4/2 = 2 s

उत्तर

t_s = 2 s

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: x_max = 409.6 mm

प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात

ωₙ = √(k/m) = √(200/4) = 7.071 rad/s

ζ = c/(2√(km)) = 8/(2·√(200·4)) = 0.1414

परिणाम

x_st = F/k = 50/200 m = 250 mm

%OS = 63.84 %

x_max = 250·(1 + 0.6384) = 409.6 mm

उत्तर

x_max = 409.6 mm

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 240

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

आवश्यक त्रुटि स्थिरांक

1/(1 + K_p) = 0.04 → K_p = 24

लब्धि

K/10 = 24 → K = 240

उत्तर

K = 240

संवृत-लूप स्थायित्व भी जाँचिए: इस द्वितीय-कोटि लूप के लिए कोई भी K > 0 स्थायी है।

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 1.25

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

वेग स्थिरांक

s·C(s) = 2s + 4 → s → 0 पर 4।

K_v = 4·20/20 = 4

रैंप त्रुटि

e_ss = 5/4 = 1.25

उत्तर

e_ss = 1.25

PI नियंत्रक सोपान त्रुटि को पूरी तरह हटा देता है; रैंप का अनुसरण एक अचर विलंब के साथ होता है।

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