FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। यह A से 8 m पर बिंदु भार P और A से 2 m पर एक दक्षिणावर्त बलयुग्म M वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP = 65 kN पर 8 mM = 30 kN·m (दक्षिणावर्त) पर 2 m

R_B = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 15 kN पर 3 mw = 4 kN/m, 2 से 4 m तक

R_B = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 500 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.2 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNखंड 1: Ø35 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 15 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 30 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 400 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 5.32° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 30 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5.32°

G = GPa

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस स्टील शाफ़्ट 300 rpm पर 50 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 80 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

50 kN @ 4 m55 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 10.5 mw = 6 kN/m, 0 से 10.5 m तकआलंब x = 0 और x = 8 m पर

M_max = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 90 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 350 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 7 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 4 kNa = 7 mL = 8 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 100 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/250 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 100 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 95 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 95 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 35° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 30 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 35°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 20° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 19 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

1 kg का एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर 5 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

5 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 8 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.7 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 8 kgk = 5 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 60 kN/m और k₂ = 12 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 475 °C पर गर्म भंडार और 5 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 3200 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 475 °CT_L = 5 °CQ_H = 3200 kJ

W_max = kJ

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 28 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -10 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 1 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 28 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 18 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 310 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 18r_c = 2.5T₁ = 310 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 20 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 310 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 82% और टरबाइन की 85% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 20T₁ = 310 KT₃ = 1500 Kη_c = 82%η_t = 85%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 15 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 140 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 140 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 100 mm, कंठ 60 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 340 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.98 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 340 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 200 mm आंतरिक व्यास वाले 800 m लंबे क्षैतिज पाइप से 0.9 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 0.9 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

250 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02) वाला 200 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 75 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक परीक्षण में पंप 60 m शीर्ष के विरुद्ध 10 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 6.9 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

Q = 10 L/sH = 60 mP_shaft = 6.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 80 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 9 m ऊँची है। पाइप 600 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 200 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 5 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 85% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार जिप्सम बोर्ड की 150 mm और ईंट की 100 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 6 m²। बाहरी फलक 19 °C और 0 °C पर हैं। दोनों परतों के अंतरापृष्ठ पर तापमान T_i ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.17 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0.72 W/(m·K)A = 6 m²T₁ = 19 °CT₃ = 0 °C

T_i = °C

32.ऊष्मा चालनकठिन

250 mm काँच और 150 mm विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की दीवार 22 °C वाले कमरे को -7 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 6 W/(m²·K) और बाहर 25 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 4 m² है। दीवार की भीतरी सतह का तापमान T_s ज्ञात कीजिए।

L₁ = 250 mm, k₁ = 0.96 W/(m·K)L₂ = 150 mm, k₂ = 0.035 W/(m·K)A = 4 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 25 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -7 °C

T_s = °C

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर चल रही एक 15 kW मोटर 40 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 50 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 50η = 95%

T₂ = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

2900 rpm पर एक 15 kW मोटर गियर A (12 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (24 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (18 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (24 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 98% है। निर्गम बलाघूर्ण T_out ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 24C = 18D = 24η_mesh = 98%

T_out = N·m

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

आंशिक भिन्नों से F(s) = 25/(s(s + 4)(s + 5)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.2) का मान निकालिए।

F(s) = 25/(s(s + 4)(s + 5))t = 0.2 s

f(0.2) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

लाप्लास रूपांतर से y(0) = −7 और y′(0) = −15 के साथ y″ + 11y′ + 30y = 0 हल कीजिए, और y(0.2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 11y′ + 30y = 0y(0) = −7y′(0) = −15t = 0.2 s

y(0.2) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 6(s + 7)/((s + 3)(s + 6)) है। संदर्भ पर आकार 1 का सोपान लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 6(s + 7)/((s + 3)(s + 6))R = 1

e_ss =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

G₁ = 16/(s + 4), G₂ = 5/(s + 6), G₂ के चारों ओर एक भीतरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₁ = 4 और एक बाहरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₂ = 0.1 वाले ब्लॉक आरेख को सरल करें। C(s)/R(s) की DC लब्धि T(0) ज्ञात कीजिए।

G₁ = 16/(s + 4)G₂ = 5/(s + 6)H₁ = 4H₂ = 0.1

T(0) =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 29/(s² + 3s + 58) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।

G(s) = 29/(s² + 3s + 58)

%OS = %

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 4)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 20 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।

G(s) = K/(s(s + 4))%OS = 20 %

K =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

परवलयिक निवेश r(t) = 4·t²/2 को G(s) = 4(s + 3)/(s²(s + 5)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 4(s + 3)/(s²(s + 5))r(t) = 4·t²/2

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PI नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s संयंत्र G(s) = 1/(s + 5) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 8 rad/s और ζ = 1 होना चाहिए। समाकल लब्धि K_i ज्ञात कीजिए।

G(s) = 1/(s + 5)ωₙ = 8 rad/sζ = 1

K_i =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 55 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

A के परितः आघूर्ण

वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: R_B·10 − 65·8 − 30 = 0

R_B = 550/10 = 55 kN

ऊर्ध्वाधर संतुलन

R_A = 65 − 55 = 10 kN

उत्तर

R_B = 55 kN

ऋणात्मक प्रतिक्रिया नीचे की ओर कार्य करती है।

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 17.25 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 4·2·3

R_B = 69/4 = 17.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 23 − 17.25 = 5.75 kN

उत्तर

R_B = 17.25 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 24.29 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.2/8.234 × 10⁻⁶ = 24291 N = 24.29 kN

उत्तर

P = 24.29 kN

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 49.74 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 10.39 MPa

σ₂ = 49.74 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 49.74 MPa

उत्तर

σ_max = 49.74 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 26 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5.32·π/180 = 0.09285 rad

अपरूपण गुणांक

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(4970·0.09285) = 26003 MPa

G = 26 GPa

उत्तर

G = 26 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 82.55 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·80)) = 46.62 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1.592 × 10⁶/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 82.55 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(46.62, 82.55) = 82.55 mm

उत्तर

d = 82.55 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 62.5 kN, R₂ = 42.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 62.5, M_C = 70, M_D = 77.5, M_E = 85 kN·m, M_F = 42.5, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = 85 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 39.08 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·10.5 = 63 kN, x̄ = 5.25 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·10.5·5.25

R_B = 330.8/8 = 41.34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 41.34 = 21.66 kN

शून्य अपरूपण

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 21.66/6 = 3.609 m

अधिकतम सैगिंग आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 21.66²/(2·6) = 39.08 kN·m

उत्तर

M_max = 39.08 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −29.87 °

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−60, 90 − 20) = −59.74°

अवयव पर कोण

θ_p = −29.87°

उत्तर

θ_p = −29.87°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 3.554

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 10 MPa, R = 56.57 MPa

σ₁ = 66.57 MPa, σ₂ = −46.57 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(66.57² − 66.57·(−46.57) + (−46.57)²) = 98.49 MPa

n = 350/98.49 = 3.554

उत्तर

n = 3.554

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 4.64 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 4000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·7000²·1000²/(3·1.76 × 10¹²·8000) = 4.64 mm

उत्तर

δ_P = 4.64 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 313.1 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·24) = 2.557 × 10⁸ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·2.557 × 10⁸/100)^1/3 = 313.1 mm

उत्तर

h_req = 313.1 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 86.82 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86.82 kN

उत्तर

P_cr = 86.82 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 64.81 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 64.81 mm

उत्तर

d = 64.81 mm

जाँच: तनुता KL/r = 185.1 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 17.7 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 70°) = 17.7 m/s

उत्तर

v₀ = 17.7 m/s

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 67.18 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 20° = 17.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 20° = 6.498 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 45 + 6.498·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.498 + √(42.23 + 882.9))/9.81 = 3.763 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 17.85·3.763 = 67.18 m

उत्तर

x = 67.18 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 7.515 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.2·7.515 = 1.503 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 1.503·5 = 7.515 J

उत्तर

W_f = 7.515 J

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 9.905 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.3·2.5) = 24.53 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 24.53 → x = √(2·24.53/5000) = 0.09905 m = 9.905 cm

उत्तर

x = 9.905 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 2.841 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(5000/8) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3.979 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.7²) = 2.841 Hz

उत्तर

f_d = 2.841 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 6.752 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 60 + 12 = 72 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(72000/40) = 42.43 rad/s

f_n = 42.43/(2π) = 6.752 Hz

उत्तर

f_n = 6.752 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 2010 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/748.1 = 62.82 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.6282·3200 = 2010 kJ

उत्तर

W_max = 2010 kJ

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.1444 kW

परम तापमान

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(301.1 − 263.1) = 6.925

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/6.925 = 0.1444 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.1444 kW

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 1485 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 310·18^0.4 = 985.1 K

T₃ = 2.5·985.1 = 2463 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(2463 − 985.1) = 1485 kJ/kg

उत्तर

q_in = 1485 kJ/kg

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 222.7 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 310·20^0.2857 = 729.6 K

T_4s = 1500/20^0.2857 = 637.3 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(729.6 − 310)/0.82 = 514.3 kJ/kg

w_t = 0.85·1.005·(1500 − 637.3) = 736.9 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 736.9 − 514.3 = 222.7 kJ/kg

उत्तर

w_net = 222.7 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 69.78%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 141.7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.015/0.03142 = 0.4775 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 140 + ½·1000·(1.91² − 0.4775²)/1000 = 140 + 1.71 = 141.7 kPa

उत्तर

p₁ = 141.7 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 27.23 L/s

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.34 = 42026 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·42026/(1000·(1 − 0.1296))) = 9.827 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.002827·9.827 = 0.02723 m³/s = 27.23 L/s

उत्तर

Q = 27.23 L/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 35.64 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.2)·0.9²/(2·9.81) = 3.633 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·3.633 = 35640 Pa = 35.64 kPa

उत्तर

Δp = 35.64 kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 2.463 m

वेग

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.02·200/0.25 = 16

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 16 + 3.7)·0.119 = 2.463 m

उत्तर

H = 2.463 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: η = 85.3 %

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·60 = 5.886 kW

दक्षता

η = P_h/P_shaft = 5.886/6.9 = 85.3%

उत्तर

η = 85.3%

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 26.31 kW

वेग

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 5)·0.3305 = 19.5 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 9 + 19.5 = 28.5 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·28.5/0.85 = 26.31 kW

उत्तर

P_shaft = 26.31 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_i = 2.584 °C

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.17·6) = 0.1471 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0.72·6) = 0.02315 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 19/0.1702 = 111.6 W

अंतरापृष्ठ तापमान

पहली परत में तापमान Q̇·R₁ घटता है।

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 19 − 111.6·0.1471 = 2.584 °C

उत्तर

T_i = 2.584 °C

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_s = 20.98 °C

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·4) = 0.04167 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0.96·4) = 0.0651 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (150/1000)/(0.035·4) = 1.071 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W

ΣR = 1.188 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (22 − (-7))/1.188 = 24.41 W

T_s = T_room − Q̇·R_i = 22 − 24.41·0.04167 = 20.98 °C

उत्तर

T_s = 20.98 °C

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 177.2 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 149.2·50/40·0.95 = 177.2 N·m

उत्तर

T₂ = 177.2 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_out = 126.5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

निर्गत चाल

n_out = 2900·(12/24)·(18/24) = 1088 rpm

ω_out = 2π·1088/60 = 113.9 rad/s

निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण

P_out = 15000·0.98² = 14406 W

T_out = P_out/ω_out = 14406/113.9 = 126.5 N·m

उत्तर

T_out = 126.5 N·m

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.2) = 0.2811

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

आंशिक भिन्न

F(s) = A/s + B/(s + 4) + C/(s + 5)

A = 25/(4·5) = 1.25

B = 25/((−4)·1) = −6.25

C = 25/((−5)·(−1)) = 5

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 1.25 − 6.25·e^−4t + 5·e^−5t

मान निकालें

f(0.2) = 1.25 − 6.25·e^−4·0.2 + 5·e^−5·0.2 = 0.2811

उत्तर

f(0.2) = 0.2811

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.2) = −5.909

समीकरण का रूपांतर करें

s²Y − (−7)s − (−15) + 11(sY − (−7)) + 30Y = 0

Y(s) = (−7s − 92)/((s + 5)(s + 6))

आंशिक भिन्न

A = −57/1 = −57

B = −50/(−1) = 50

परिणाम

y(t) = −57·e^−5t + 50·e^−6t

y(0.2) = −5.909

उत्तर

y(0.2) = −5.909

जाँच: y(0) = A + B = −7।

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: e_ss = 0.3

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

स्थिति त्रुटि स्थिरांक

Kₚ = G(0) = 6·7/(3·6) = 2.333

स्थायी-अवस्था त्रुटि

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 1/(1 + 2.333) = 0.3

उत्तर

e_ss = 0.3

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: T(0) = 0.7143

भीतरी लूप

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 5/(s + 26)

बाहरी लूप

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 80/((s + 4)(s + 26) + 8)

DC लब्धि

T(0) = 80/(4·26 + 8) = 80/112 = 0.7143

उत्तर

T(0) = 0.7143

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: %OS = 53.2 %

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 58 → ωₙ = 7.616 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·7.616) = 0.197

परिणाम

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−0.6311 = 53.2 %

उत्तर

%OS = 53.2 %

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: K = 19.24

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = K/(s² + 4s + K)

अतिलंघन से अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 0.4559

लब्धि

ωₙ = 4/(2ζ) = 4.386 rad/s

K = ωₙ² = 19.24

उत्तर

K = 19.24

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 1.667

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

त्वरण स्थिरांक

K_a = 4·3/5 = 2.4

परवलय त्रुटि

e_ss = 4/2.4 = 1.667

उत्तर

e_ss = 1.667

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K_i = 64

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 5) से गुणा किया गया है।

s² + (5 + 1K_p)s + 1K_i

लक्ष्य बहुपद

s² + 2·1·8s + 8² = s² + 16s + 64

गुणांक मिलाइए

1K_i = 64 → K_i = 64

उत्तर

K_i = 64

समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।

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