द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
तरल यांत्रिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई ycp ज्ञात कीजिए।
d = 4 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 270 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 80 mm, कंठ 40 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 310 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.98 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।
d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 310 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल 75 mm आंतरिक व्यास वाले 200 m लंबे पाइप से 1 m/s के औसत वेग से बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि hf ज्ञात कीजिए।
V = 1 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
दो खुले जलाशय 300 m लंबे, 250 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 वाले पाइप से जुड़े हैं। ऊपरी जलाशय की जल सतह निचले जलाशय की सतह से 30 m ऊपर है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q L/s में ज्ञात कीजिए।
Δz = 30 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
75% दक्षता वाला एक पंप 56 m शीर्ष के विरुद्ध 10 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति Pshaft kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 10 L/sH = 56 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 50 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 7 m ऊँची है। पाइप 150 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 150 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 2.5 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 82% है। शाफ़्ट शक्ति Pshaft kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 2.5η = 82%
Pshaft = kW
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 88.29 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN
उत्तर
F = 88.29 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: ycp = 5.349 m
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5.25·7.5 = 395.9 kN
दाब केंद्र
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।
Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5.25 + 3.906/(5.25·7.5) = 5.349 m
उत्तर
ycp = 5.349 m
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p2 = 223.1 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−46.88) = 223.1 kPa
उत्तर
p2 = 223.1 kPa
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: Q = 11.13 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
मैनोमीटर से दाबांतर
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa
कंठ वेग
सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।
β = 40/80 = 0.5
v2 = √(2·38318/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.041 m/s
वास्तविक प्रवाह दर
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.001257·9.041 = 0.01113 m³/s = 11.13 L/s
उत्तर
Q = 11.13 L/s
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: hf = 2.718 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
वेग शीर्ष
V²/(2g) = 1²/(2·9.81) = 0.05097 m
डार्सी–वाइसबाख
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.075)·1²/(2·9.81) = 2.718 m
उत्तर
hf = 2.718 m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Q = 250 L/s
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
हानि गुणांक
f·L/D = 0.015·300/0.25 = 18
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
ऊर्जा समीकरण
दोनों सतहें वायु के लिए खुली हैं और लगभग विराम में हैं, इसलिए पूरा Δz पाइप में खो जाता है।
30 = (18 + 4.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·30/22.7) = 5.092 m/s
प्रवाह दर
Q = V·π·D²/4 = 5.092·0.04909 = 0.25 m³/s = 250 L/s
उत्तर
Q = 250 L/s
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pshaft = 7.325 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·56 = 5.494 kW
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = Ph/η = 5.494/0.75 = 7.325 kW
उत्तर
Pshaft = 7.325 kW
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pshaft = 10.9 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 2.5)·0.408 = 11.22 m
पंप शीर्ष
H = Δz + hL = 7 + 11.22 = 18.22 m
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·18.22/0.82 = 10.9 kW
उत्तर
Pshaft = 10.9 kW
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