द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
तरल यांत्रिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई ycp ज्ञात कीजिए।
d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 380 kPa और वेग 2 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 380 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
एक फ़व्वारे का नोज़ल सीधे ऊपर की ओर है। नोज़ल के ठीक नीचे आपूर्ति पाइप का व्यास 100 mm और गेज दाब 70 kPa है। नोज़ल निकास व्यास 40 mm है, और नोज़ल के आर-पार ऊँचाई अंतर नगण्य है। हानियों और वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई H ज्ञात कीजिए जिस तक जेट नोज़ल से ऊपर उठता है। g = 9.81 m/s² लें।
d1 = 100 mmp1 = 70 kPa (गेज)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल (ρ = 1000 kg/m³) 300 mm आंतरिक व्यास वाले 50 m लंबे क्षैतिज पाइप से 1.9 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।
V = 1.9 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
दो खुले जलाशय 150 m लंबे, 200 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 10) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 50 L/s की प्रवाह दर देता है?
Q = 50 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
एक परीक्षण में पंप 54 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 25.8 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
Q = 40 L/sH = 54 mPshaft = 25.8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 20 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 26 m ऊँची है। पाइप 100 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 350 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।
Q = 20 L/sΔz = 26 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 312.7 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·7.5 = 312.7 kN
उत्तर
F = 312.7 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: ycp = 2.818 m
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.75·2.25 = 53.42 kN
दाब केंद्र
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।
Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.75 + 0.4219/(2.75·2.25) = 2.818 m
उत्तर
ycp = 2.818 m
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p2 = 350 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/100)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 380 + (−30) = 350 kPa
उत्तर
p2 = 350 kPa
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: H = 7.323 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
निकास वेग
β = 40/100 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0.9744)) = 11.99 m/s
जेट की ऊँचाई
जेट के साथ बर्नूली: शीर्ष पर वेग शून्य है और दाब फिर से वायुमंडलीय है।
H = v2²/(2g) = 11.99²/(2·9.81) = 7.323 m
उत्तर
H = 7.323 m
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Δp = 6.618 kPa
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
शीर्ष हानि
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(50/0.3)·1.9²/(2·9.81) = 0.6747 m
दाब पात
पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·hf बन जाता है।
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·0.6747 = 6618 Pa = 6.618 kPa
उत्तर
Δp = 6.618 kPa
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Δz = 3.305 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
वेग
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
हानि गुणांक
f·L/D = 0.018·150/0.2 = 13.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
कुल शीर्ष हानि
hf = 13.5·0.1291 = 1.743 m
hm = 12.1·0.1291 = 1.562 m
Δz = hf + hm = 3.305 m
उत्तर
Δz = 3.305 m
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: η = 82.13 %
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·54 = 21.19 kW
दक्षता
η = Ph/Pshaft = 21.19/25.8 = 82.13%
उत्तर
η = 82.13%
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: H = 72.58 m
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0.3305 = 10.91 m
दाब शीर्ष
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m
पंप शीर्ष
दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 26 + 35.68 + 10.91 = 72.58 m
उत्तर
H = 72.58 m
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