द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
तरल यांत्रिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई ycp ज्ञात कीजिए।
d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 75 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 290 kPa और वेग 1.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 290 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
40 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 0.5 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 1 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। बिंदु C पर परम दाब pC ज्ञात कीजिए। वायुमंडलीय दाब 101.3 kPa है।
d = 40 mmzC = +0.5 mz2 = −1 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल 300 mm आंतरिक व्यास वाले 400 m लंबे पाइप से 60 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.03 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि hf ज्ञात कीजिए।
Q = 60 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
दो खुले जलाशय 500 m लंबे, 300 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 वाले पाइप से जुड़े हैं। ऊपरी जलाशय की जल सतह निचले जलाशय की सतह से 24 m ऊपर है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 5) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q L/s में ज्ञात कीजिए।
Δz = 24 mL = 500 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
65% दक्षता वाला एक पंप 58 m शीर्ष के विरुद्ध 25 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति Pshaft kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 25 L/sH = 58 mη = 65%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 100 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 9 m ऊँची है। पाइप 300 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।
Q = 100 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 6
H = m
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 397.3 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN
उत्तर
F = 397.3 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: ycp = 3.714 m
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·6 = 259.6 kN
दाब केंद्र
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।
Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 4.5/(3.5·6) = 3.714 m
उत्तर
ycp = 3.714 m
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p2 = 234.2 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(200/75)² = 10.67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 10.67²)/1000 = −55.76 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 290 + (−55.76) = 234.2 kPa
उत्तर
p2 = 234.2 kPa
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: pC = 86.58 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
होज़ में वेग
सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।
v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s
सतह से C तक बर्नूली
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 14.71 = 86.58 kPa
उत्तर
pC = 86.58 kPa
यदि यह दाब पानी के वाष्प दाब तक गिर जाए, तो साइफ़न काम करना बंद कर देता है।
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: hf = 1.469 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
औसत वेग
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.06/0.07069 = 0.8488 m/s
वेग शीर्ष
V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m
डार्सी–वाइसबाख
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.3)·0.8488²/(2·9.81) = 1.469 m
उत्तर
hf = 1.469 m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Q = 269.5 L/s
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
हानि गुणांक
f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4
ऊर्जा समीकरण
दोनों सतहें वायु के लिए खुली हैं और लगभग विराम में हैं, इसलिए पूरा Δz पाइप में खो जाता है।
24 = (25 + 7.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·24/32.4) = 3.812 m/s
प्रवाह दर
Q = V·π·D²/4 = 3.812·0.07069 = 0.2695 m³/s = 269.5 L/s
उत्तर
Q = 269.5 L/s
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pshaft = 21.88 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·58 = 14.22 kW
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = Ph/η = 14.22/0.65 = 21.88 kW
उत्तर
Pshaft = 21.88 kW
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: H = 16.61 m
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.2115 = 7.615 m
पंप शीर्ष
दोनों सतहें खुली और लगभग विराम में हैं, इसलिए दाब और वेग पद हट जाते हैं।
H = Δz + hL = 9 + 7.615 = 16.61 m
उत्तर
H = 16.61 m
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