ऊष्मा अंतरण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 4 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम
Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध
R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध
R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-मान
U = 1/(ΣR·A)

ऊष्मा विनिमयक (LMTD)

ऊष्मा भार
Q = U·A·ΔTlm
लघुगणकीय माध्य तापमान अंतर
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
धारा संतुलन
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2अभ्यास प्रश्न

1.ऊष्मा चालनमध्यम
जिप्सम बोर्ड, k = 0.17200 mmकंक्रीट, k = 1.475 mm18 °C7 °CTi​ = ?Q̇

एक दीवार जिप्सम बोर्ड की 200 mm और कंक्रीट की 75 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 8 m²। बाहरी फलक 18 °C और 7 °C पर हैं। दोनों परतों के अंतरापृष्ठ पर तापमान Ti ज्ञात कीजिए।

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.ऊष्मा चालनकठिन
खनिज ऊन, k = 0.04100 mmकंक्रीट, k = 1.4100 mmकमरा 20 °Cबाहर 5 °CQ̇ = ?

100 mm खनिज ऊन और 100 mm कंक्रीट की दीवार 20 °C वाले कमरे को 5 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 7.7 W/(m²·K) और बाहर 25 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 10 m² है। दीवार से ऊष्मा हानि Q̇ ज्ञात कीजिए।

L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.ऊष्मा विनिमयक (LMTD)मध्यम
लंबाईT110 °C20 °C55 °CΔT₁ΔT₂संघनित होती भाप

एक संघनित्र में भाप नलियों के बाहर स्थिर 110 °C पर संघनित होती है। ठंडा करने वाला पानी (4 kg/s, cp = 4.18 kJ/(kg·K)) नलियों से होकर बहता है और 20 से 55 °C तक गर्म होता है। समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक 1000 W/(m²·K) है। आवश्यक ऊष्मा अंतरण क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

Ts = 110 °Cṁ = 4 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 55 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.ऊष्मा विनिमयक (LMTD)कठिन
लंबाईT100 °C50 °C65.02 °C10 °CΔT₁ΔT₂प्रतिप्रवाह

गर्म तेल (2 kg/s, cp = 2.3 kJ/(kg·K)) एक प्रतिप्रवाह विनिमयक में 100 से 50 °C तक ठंडा होता है। यह 10 °C पर प्रवेश करने वाले 1 kg/s पानी (cp = 4.18 kJ/(kg·K)) को गर्म करता है। U = 300 W/(m²·K) के साथ आवश्यक ऊष्मा अंतरण क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 50 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3विलयन

1.ऊष्मा चालन

उत्तर: Ti = 7.479 °C

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·8) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1.4·8) = 0.006696 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0.1538 = 71.54 W

अंतरापृष्ठ तापमान

पहली परत में तापमान Q̇·R₁ घटता है।

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 71.54·0.1471 = 7.479 °C

उत्तर

Ti = 7.479 °C
2.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 54.72 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

श्रेणी प्रतिरोध

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·10) = 0.25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1.4·10) = 0.007143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0.004 K/W
ΣR = 0.2741 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (20 − (5))/0.2741 = 54.72 W

उत्तर

Q̇ = 54.72 W
3.ऊष्मा विनिमयक (LMTD)

उत्तर: A = 8.234 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

पानी पक्ष से ऊष्मा भार

Q̇ = 4·4.18·(55 − 20) = 585.2 kW

सिरों पर तापांतर

ΔT₁ = 110 − 20 = 90 K
ΔT₂ = 110 − 55 = 55 K

लघुगणकीय माध्य तापांतर

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 55)/ln(90/55) = 71.07 K

क्षेत्रफल

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 585200/(1000·71.07) = 8.234 m²

उत्तर

A = 8.234 m²
4.ऊष्मा विनिमयक (LMTD)

उत्तर: A = 20.48 m²

LMTD विधि: विनिमयक के साथ धाराओं के बीच तापांतर बदलता है, इसलिए दर समीकरण उसका लघुगणकीय माध्य लेता है: Q̇ = U·A·ΔTlm, जहाँ ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), और ΔT₁ व ΔT₂ दोनों सिरों पर अंतर हैं। समान इनलेट और आउटलेट तापमानों के लिए प्रतिप्रवाह, समांतर प्रवाह से बड़ा ΔTlm देता है।

ऊष्मा भार और पानी का निर्गम तापमान

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.3·50 = 230 kW
Tc,out = 10 + 230/(1·4.18) = 65.02 °C

सिरों पर तापांतर

प्रतिप्रवाह में गर्म इनलेट ठंडे आउटलेट के सामने और गर्म आउटलेट ठंडे इनलेट के सामने होता है।

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 65.02 = 34.98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

लघुगणकीय माध्य तापांतर

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (34.98 − 40)/ln(34.98/40) = 37.43 K

क्षेत्रफल

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 230000/(300·37.43) = 20.48 m²

उत्तर

A = 20.48 m²

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