निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आप 4.8% प्रति वर्ष की नाममात्र दर पर €2 000 निवेश करते हैं, ब्याज त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। 2 वर्षों बाद निवेश का मूल्य FV ज्ञात करें।

PV = €2 0004.8% / 4n = 2

FV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 4.2% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर €8 000 उधार लेते हैं, और हर महीने के अंत में €200 चुकाते हैं। ऋण चुकने तक कितने महीने लगते हैं (अंतिम किस्त छोटी हो सकती है)? किस्तों की संख्या N बताइए।

P = €8 000A = €2004.2% / 12

N = किस्तें

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 8% का वार्षिक कूपन देता है और 10 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 3.5% से 1.5% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 8%n = 10y₁ = 3.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य और 7% वार्षिक कूपन वाला एक बॉन्ड 10 वर्ष में परिपक्व होता है और €935 में बिकता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल YTM प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 7%n = 10P = €935

YTM = %

5.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €5 000 000 मूल्य की इक्विटी और €3 000 000 मूल्य का ऋण है। इसकी इक्विटी की लागत 12%, कर-पूर्व ऋण लागत 4.5% और कर दर 21% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी की इक्विटी का बाज़ार मूल्य €5 000 000 और इक्विटी की लागत 12% है। इसके ऋण में 4 000 बॉन्ड हैं (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 5%, 4 वर्ष की परिपक्वता) जो प्रत्येक €1 055 पर कारोबार करते हैं। कर दर 25% है। बॉन्डों के परिपक्वता तक प्रतिफल को कर-पूर्व ऋण लागत मानते हुए WACC ज्ञात कीजिए।

E = €5 000 000r_e = 12%बॉन्ड: 4 000 × €1 055कूपन = 5%n = 4T = 25%

WACC = %

7.NPV और IRRमध्यम

एक परियोजना की लागत आज €60 000 है और यह वर्ष 1 से 4 के अंत में €16 500, €16 000, €25 500, €25 500 लौटाती है। पूँजी की लागत 5% है। मान लें कि नकदी प्रवाह हर वर्ष समान रूप से आते हैं। बट्टाकृत पेबैक अवधि DPB वर्षों में ज्ञात कीजिए।

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 000CF₃ = 25 500CF₄ = 25 500

DPB = वर्ष

8.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €10 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €5 000, €7 000, €6 500 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 500

IRR = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 2200 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·2 = 8

भविष्य मूल्य

FV = 2 000·(1 + 0.012)⁸ = 2 000·1.1 = €2 200.26

उत्तर

FV = €2 200.26

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: N = 44 किस्तें

वार्षिकी सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.0035/200 = 0.86

लघुगणक से हल करें

N = −ln(0.86)/ln(1.004) = 43.17

पूरी किस्तों तक ऊपर पूर्णांकित करें

43 पूरी किस्तें थोड़ा शेष छोड़ती हैं, जिसे अंतिम, छोटी किस्त चुका देती है।

N = 44

उत्तर

N = 44 किस्तें

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = 225.2 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €80.00, i = 0.035, N = 10

€80.00·(1 − 0.7089)/0.035 + €1 000·0.7089 = €665.33 + €708.92 = €1 374.25

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €80.00, i = 0.015, N = 10

€80.00·(1 − 0.8617)/0.015 + €1 000·0.8617 = €737.77 + €861.67 = €1 599.44

परिवर्तन

ΔP = 1 599.44 − 1 374.25 = €225.19

उत्तर

ΔP = €225.19

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTM = 7.967 %

प्रतिफल का समीकरण

€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

संख्यात्मक रूप से हल करें

P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €932.90

YTM = 7.967%

उत्तर

YTM = 7.967%

5.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 8.833 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·12% + 0.375·4.5%·(1 − 0.21) = 8.833%

उत्तर

WACC = 8.833%

6.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 7.71 %

ऋण की लागत (YTM)

1055 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 3.503%

बाज़ार मूल्य

D = 4 000·€1 055 = €4 220 000

V = €9 220 000, E/V = 0.5423, D/V = 0.4577

WACC

WACC = 0.5423·12% + 0.4577·3.503%·(1 − 0.25) = 7.71%

उत्तर

WACC = 7.71%

7.NPV और IRR

उत्तर: DPB = 3.369 वर्ष

प्रतिलाभ अवधि (पेबैक): वह समय जब तक संचयी नकदी प्रवाह प्रारंभिक निवेश की भरपाई न कर दें। माना जाता है कि हर वर्ष नकदी समान रूप से आती है, इसलिए अंतिम भाग वर्ष का एक अंश है। साधारण पेबैक मुद्रा के समय मूल्य को नज़रअंदाज़ करता है; बट्टाकृत पेबैक अवधि इसके बजाय बट्टाकृत नकदी प्रवाहों का उपयोग करती है।

बट्टाकृत और संचयी नकदी प्रवाह

वर्ष 1: 16 500/1.05 = 15 714.29 → Σ = 15 714.29

वर्ष 2: 16 000/1.103 = 14 512.47 → Σ = 30 226.76

वर्ष 3: 25 500/1.158 = 22 027.86 → Σ = 52 254.62

वर्ष 4: 25 500/1.216 = 20 978.91 → Σ = 73 233.53

अंतिम वर्ष का अंश

DPB = 3 + 7 745.38/20 978.91 = 3.369

उत्तर

DPB = 3.369 वर्ष

बट्टाकृत पेबैक हमेशा साधारण पेबैक (3.078 वर्ष) से लंबा होता है।

8.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 36.32 %

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(35%) = 186.46

NPV(40%) = −488.34

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 35 + 5·186.46/(186.46 − (−488.34)) = 36.38%

सटीक: NPV(36.32%) = 0 → IRR = 36.32%

उत्तर

IRR = 36.32%

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