निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आपको 2 वर्षों में €40 000 चाहिए। एक खाता प्रति वर्ष 4% देता है, ब्याज मासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। आज आपको कितना जमा करना होगा? वर्तमान मूल्य PV ज्ञात करें।

FV = €40 0004% / 12n = 2

PV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 18 वर्षों तक हर महीने के अंत में €150 बचाते हैं। खाता प्रति वर्ष 6% देता है, मासिक चक्रवृद्धि। अंत में आपकी कितनी बचत होगी? FV ज्ञात करें।

A = €1506% / 12N = 216

FV = €

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 7% का वार्षिक कूपन देता है और 6 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 3% से 1% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 7%n = 6y₁ = 3%y₂ = 1%

ΔP = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

एक बॉन्ड 4% के परिपक्वता तक प्रतिफल (वार्षिक चक्रवृद्धि) और 7 वर्ष की मैकॉले ड्यूरेशन के साथ €985 पर कारोबार करता है। यदि प्रतिफल 150 आधार अंक घटता है, तो संशोधित ड्यूरेशन से नई कीमत P का अनुमान लगाइए।

P₀ = €985y = 4%D = 7Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM और WACCमध्यम

2 बीटा वाले एक शेयर का आवश्यक प्रतिफल 11% है। जोखिम-मुक्त दर 3% है। CAPM किस अपेक्षित बाज़ार प्रतिफल r_m का संकेत देता है?

β = 2r_e = 11%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के पास €21.50 प्रति शेयर की दर से 4 000 000 शेयर और €980 प्रति बॉन्ड पर कारोबार कर रहे 40 000 बॉन्ड है। कर-पूर्व ऋण लागत 6% और कर दर 25% है। शेयर का बीटा 1.3, जोखिम-मुक्त दर 4% और बाज़ार प्रतिफल 9.5% है। WACC ज्ञात कीजिए।

β = 1.3r_f = 4%r_m = 9.5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV और IRRमध्यम

एक मशीन की लागत आज €50 000 है, यह 5 वर्ष चलती है और इसे चलाने में प्रति वर्ष €5 000 लगते हैं (हर वर्ष के अंत में भुगतान)। पूँजी की लागत 8% है। इसकी तुल्य वार्षिक लागत EAC ज्ञात कीजिए।

C₀ = €50 000M = €5 000n = 5r = 8%

EAC = €

8.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €50 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €30 000, €37 000, €34 500 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 37 000CF₃ = 34 500

IRR = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 36930 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·2 = 24

वर्तमान मूल्य

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.083 = €36 929.57

उत्तर

PV = €36 929.57

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 58103 €

मासिक दर और जमाओं की संख्या

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·18 = 216

जमाओं का भविष्य मूल्य

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.937 − 1)/0.005 = €58 102.98

उत्तर

FV = €58 102.98

आपने खुद €32 400 जमा किया; बाकी ब्याज है।

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = 131 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €70.00, i = 0.03, N = 6

€70.00·(1 − 0.8375)/0.03 + €1 000·0.8375 = €379.20 + €837.48 = €1 216.69

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €70.00, i = 0.01, N = 6

€70.00·(1 − 0.942)/0.01 + €1 000·0.942 = €405.68 + €942.05 = €1 347.73

परिवर्तन

ΔP = 1 347.73 − 1 216.69 = €131.04

उत्तर

ΔP = €131.04

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1084 €

अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −D_mod·Δy।

संशोधित ड्यूरेशन

D_mod = 7/1.04 = 6.731

अनुमानित कीमत परिवर्तन

%ΔP ≈ −6.731·(−0.015) = 10.1%

P ≈ 985·(1 + 0.101) = €1 084.45

उत्तर

P = €1 084.45

ड्यूरेशन एक रैखिक अनुमान है; प्रतिफल में बड़े परिवर्तनों के लिए उत्तलता (कॉन्वेक्सिटी) वास्तविक कीमत को थोड़ा अधिक कर देती है।

5.CAPM और WACC

उत्तर: r_m = 7 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

बाज़ार जोखिम प्रीमियम

r_m − r_f = (11% − 3%)/2 = 4%

बाज़ार प्रतिफल

r_m = 3% + 4% = 7%

उत्तर

r_m = 7%

6.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 9.068 %

बाज़ार मूल्य

E = 4 000 000·€21.50 = €86 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 4% + 1.3·5.5% = 11.15%

भार

V = €125 200 000, E/V = 0.6869, D/V = 0.3131

WACC

WACC = 0.6869·11.15% + 0.3131·6%·(1 − 0.25) = 9.068%

उत्तर

WACC = 9.068%

7.NPV और IRR

उत्तर: EAC = 17523 €

तुल्य वार्षिक लागत: सभी लागतों के वर्तमान मूल्य को जीवनकाल में एक समान वार्षिक राशि (वार्षिकी) के रूप में फैलाएँ: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)। इससे अलग-अलग जीवनकाल वाली मशीनों की तुलना की जा सकती है।

वार्षिकी गुणक

(1 − 1.08⁻⁵)/0.08 = 3.993

वार्षिकीकृत क्रय मूल्य

50 000/3.993 = 12 522.82

EAC

EAC = 12 522.82 + 5 000 = €17 522.82

उत्तर

EAC = €17 522.82

8.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 44.37 %

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(40%) = 2 879.01

NPV(45%) = −395.67

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 40 + 5·2 879.01/(2 879.01 − (−395.67)) = 44.4%

सटीक: NPV(44.37%) = 0 → IRR = 44.37%

उत्तर

IRR = 44.37%

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