निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

एक वार्षिकी 9 वर्षों तक हर वर्ष के अंत में €1 000 देती है। ब्याज दर 8% प्रति वर्ष है। वार्षिकी का वर्तमान मूल्य PV ज्ञात कीजिए।

A = €1 000i = 8%n = 9

PV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 2.4% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर €15 000 उधार लेते हैं, और हर महीने के अंत में €175 चुकाते हैं। ऋण चुकने तक कितने महीने लगते हैं (अंतिम किस्त छोटी हो सकती है)? किस्तों की संख्या N बताइए।

P = €15 000A = €1752.4% / 12

N = किस्तें

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 14 वर्षों में परिपक्व होता है और वार्षिक कूपन देता है। परिपक्वता तक प्रतिफल 7% होने पर यह €738 में बिकता है। कूपन दर c प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000n = 14P = €738YTM = 7%

c = %

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 7% का वार्षिक कूपन देता है और 6 वर्षों में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल 2.5% है। मैकॉले ड्यूरेशन D वर्षों में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 7%n = 6YTM = 2.5%

D = वर्ष

5.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €6 000 000 मूल्य की इक्विटी और €2 000 000 मूल्य का ऋण है। इसकी इक्विटी की लागत 11%, कर-पूर्व ऋण लागत 6% और कर दर 21% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के पास €45.00 प्रति शेयर की दर से 5 000 000 शेयर और €980 प्रति बॉन्ड पर कारोबार कर रहे 20 000 बॉन्ड है। कर-पूर्व ऋण लागत 7% और कर दर 20% है। शेयर का बीटा 1.5, जोखिम-मुक्त दर 4% और बाज़ार प्रतिफल 11% है। WACC ज्ञात कीजिए।

β = 1.5r_f = 4%r_m = 11%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

7.NPV और IRRमध्यम

€20 000 का निवेश वर्ष 1 से 3 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €5 000, €10 000, €6 000। पूँजी की लागत 15% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 10 000CF₃ = 6 000

NPV = €

8.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €10 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €7 000, €5 500, €4 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 5 500CF₃ = 4 000

IRR = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 6247 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

वार्षिकी गुणक

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5002)/0.08 = 6.247

वर्तमान मूल्य

PV = 1 000·6.247 = €6 246.89

उत्तर

PV = €6 246.89

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: N = 95 किस्तें

वार्षिकी सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें

i = 0.002

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.002/175 = 0.8286

लघुगणक से हल करें

N = −ln(0.8286)/ln(1.002) = 94.12

पूरी किस्तों तक ऊपर पूर्णांकित करें

94 पूरी किस्तें थोड़ा शेष छोड़ती हैं, जिसे अंतिम, छोटी किस्त चुका देती है।

N = 95

उत्तर

N = 95 किस्तें

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: c = 4.004 %

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

1000·(1 + 0.07)⁻¹⁴ = €387.82

कूपन

C = (738 − 387.82)/8.745 = €40.04

कूपन दर

c = 40.04/1000 = 4.004%

उत्तर

c = 4.004%

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: D = 5.205 वर्ष

अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −D_mod·Δy।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

t = 1: 70/1.025 = 68.29, t·PV = 68.29

t = 2: 70/1.051 = 66.63, t·PV = 133.25

t = 3: 70/1.077 = 65.00, t·PV = 195.01

t = 4: 70/1.104 = 63.42, t·PV = 253.67

t = 5: 70/1.131 = 61.87, t·PV = 309.35

t = 6: 1070/1.16 = 922.66, t·PV = 5 535.95

ड्यूरेशन

P = 1 247.87

D = 6 495.51/1 247.87 = 5.205

उत्तर

D = 5.205 वर्ष

5.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 9.435 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·11% + 0.25·6%·(1 − 0.21) = 9.435%

उत्तर

WACC = 9.435%

6.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 13.79 %

बाज़ार मूल्य

E = 5 000 000·€45.00 = €225 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 4% + 1.5·7% = 14.5%

भार

V = €244 600 000, E/V = 0.9199, D/V = 0.08013

WACC

WACC = 0.9199·14.5% + 0.08013·7%·(1 − 0.2) = 13.79%

उत्तर

WACC = 13.79%

7.NPV और IRR

उत्तर: NPV = −4146 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 5 000/1.15 = 4 347.83

CF₂/(1 + 0.15)² = 10 000/1.322 = 7 561.44

CF₃/(1 + 0.15)³ = 6 000/1.521 = 3 945.10

जोड़ें

NPV = €−4 145.64

उत्तर

NPV = €−4 145.64

NPV ऋणात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से कम कमाती है।

8.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 33.59 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(30%) = 459.72

NPV(35%) = −171.21

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 30 + 5·459.72/(459.72 − (−171.21)) = 33.64%

सटीक: NPV(33.59%) = 0 → IRR = 33.59%

उत्तर

IRR = 33.59%

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