निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आप 2% प्रति वर्ष की नाममात्र दर पर €8 000 निवेश करते हैं, ब्याज मासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। 7 वर्षों बाद निवेश का मूल्य FV ज्ञात करें।

PV = €8 0002% / 12n = 7

FV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 3% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर €15 000 उधार लेते हैं, और हर महीने के अंत में €200 चुकाते हैं। ऋण चुकने तक कितने महीने लगते हैं (अंतिम किस्त छोटी हो सकती है)? किस्तों की संख्या N बताइए।

P = €15 000A = €2003% / 12

N = किस्तें

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 7% का वार्षिक कूपन देता है और 5 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 5.5% से 4.5% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 7%n = 5y₁ = 5.5%y₂ = 4.5%

ΔP = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 3% का वार्षिक कूपन दो अर्धवार्षिक भुगतानों में देता है और 11 वर्षों में परिपक्व होता है। यह €955 में बिकता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल YTM वार्षिक दर (अर्धवार्षिक प्रतिफल का दोगुना) के रूप में प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 3% (2×)n = 11P = €955

YTM = %

5.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी का ऋण-इक्विटी अनुपात (बाज़ार मूल्यों पर) 0.5 है। इसकी इक्विटी की लागत 14%, कर-पूर्व ऋण लागत 3.5% और कर दर 25.8% है। WACC ज्ञात कीजिए।

D/E = 0.5r_e = 14%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के व्यवसाय का अनुत्तोलित (परिसंपत्ति) बीटा 0.8 है। यह 0.5 का ऋण-इक्विटी अनुपात रखने की योजना बनाती है। कर दर 25%, जोखिम-मुक्त दर 3% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 6% है। नई पूँजी संरचना पर इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

β_U = 0.8D/E = 0.5T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV और IRRमध्यम

एक मशीन की लागत आज €60 000 है, यह 7 वर्ष चलती है और इसे चलाने में प्रति वर्ष €2 000 लगते हैं (हर वर्ष के अंत में भुगतान)। पूँजी की लागत 10% है। इसकी तुल्य वार्षिक लागत EAC ज्ञात कीजिए।

C₀ = €60 000M = €2 000n = 7r = 10%

EAC = €

8.NPV और IRRकठिन

€80 000 का एक निवेश 7 वर्षों तक हर वर्ष के अंत में €18 000 लौटाता है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

C₀ = €80 000CF = €18 000n = 7

IRR = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 9201 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·7 = 84

भविष्य मूल्य

FV = 8 000·(1 + 0.001667)⁸⁴ = 8 000·1.15 = €9 201.12

उत्तर

FV = €9 201.12

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: N = 84 किस्तें

वार्षिकी सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0025/200 = 0.8125

लघुगणक से हल करें

N = −ln(0.8125)/ln(1.002) = 83.16

पूरी किस्तों तक ऊपर पूर्णांकित करें

83 पूरी किस्तें थोड़ा शेष छोड़ती हैं, जिसे अंतिम, छोटी किस्त चुका देती है।

N = 84

उत्तर

N = 84 किस्तें

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = 45.7 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €70.00, i = 0.055, N = 5

€70.00·(1 − 0.7651)/0.055 + €1 000·0.7651 = €298.92 + €765.13 = €1 064.05

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €70.00, i = 0.045, N = 5

€70.00·(1 − 0.8025)/0.045 + €1 000·0.8025 = €307.30 + €802.45 = €1 109.75

परिवर्तन

ΔP = 1 109.75 − 1 064.05 = €45.70

उत्तर

ΔP = €45.70

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTM = 3.496 %

प्रति अवधि

C = €15.00, N = 22

संख्यात्मक रूप से हल करें

i = 1.748% प्रति अर्ध-वर्ष

YTM

YTM = 2·1.748% = 3.496%

उत्तर

YTM = 3.496%

5.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 10.2 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

D/E से भार

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.258) = 10.2%

उत्तर

WACC = 10.2%

6.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 9.6 %

उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ β_U बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।

उत्तोलित बीटा

β_L = 0.8·(1 + 0.75·0.5) = 1.1

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 3% + 1.1·6% = 9.6%

उत्तर

r_e = 9.6%

7.NPV और IRR

उत्तर: EAC = 14324 €

तुल्य वार्षिक लागत: सभी लागतों के वर्तमान मूल्य को जीवनकाल में एक समान वार्षिक राशि (वार्षिकी) के रूप में फैलाएँ: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)। इससे अलग-अलग जीवनकाल वाली मशीनों की तुलना की जा सकती है।

वार्षिकी गुणक

(1 − 1.1⁻⁷)/0.1 = 4.868

वार्षिकीकृत क्रय मूल्य

60 000/4.868 = 12 324.33

EAC

EAC = 12 324.33 + 2 000 = €14 324.33

उत्तर

EAC = €14 324.33

8.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 12.84 %

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

आवश्यक वार्षिकी गुणक

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 80 000/18 000 = 4.444

दर के लिए हल करें

दर बढ़ने पर वार्षिकी गुणक घटता है; दर को दो मानों के बीच घेरें और सीमा सँकरी करें।

i = 12%: 4.564

i = 13%: 4.423

IRR = 12.84%

उत्तर

IRR = 12.84%

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