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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1450 rpm पर एक 2.2 kW मोटर 2 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 48 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 80% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण T_w ज्ञात कीजिए।

z = 2N_w = 48n = 1450 rpmP = 2.2 kWη = 80%

T_w = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (24 दाँत) 1440 rpm पर घूमता है और गियर B (32 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 810 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 1440 rpmA = 24B = 32C = 12n_out = 810 rpm

N_D =

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक सोपानी ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 25 mm और लंबाई 0.8 m है; खंड BC का व्यास 20 mm और लंबाई 0.5 m है। मुक्त सिरे C पर 200 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C का मरोड़ कोण φ_C डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 1450 rpm पर 100 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa और τₓᵧ = 40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −10 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 15° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 300 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 250 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 250 kNछड़: Ø40 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 150 MPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 80 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 100 GPa, अनुमेय प्रतिबल 70 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaनलिका: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 15 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 7.1 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 15 mmx₄ = 7.1 mmn = 4

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 30 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 12 kN/m और k₂ = 100 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_w = 278.2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1450·2/48 = 60.42 rpm

निर्गत बलाघूर्ण

ω_w = 2π·60.42/60 = 6.327 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.8·2200/6.327 = 278.2 N·m

उत्तर

T_w = 278.2 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 16

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 1440·24/32 = 1080 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 12·1080/810 = 16

उत्तर

N_D = 16

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 23.22 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

हर खंड का मरोड़

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·800/(26000·38350) = 0.1605 rad

φ_BC = 200000·500/(26000·15708) = 0.2449 rad

कुल मरोड़

φ_C = 0.1605 + 0.2449 = 0.4053 rad = 23.22°

उत्तर

φ_C = 23.22°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 68.97 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·20/190984 = 68.97 MPa

उत्तर

τ_max = 68.97 MPa

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −30.13 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 40/80.62 = 0.4961, sin 2θ_s = −70/80.62 = −0.8682

2θ_s = atan2(−70, 40) = −60.26°

अवयव पर कोण

θ_s = −30.13°

जाँच: θ_s − θ_p = −30.13 − 14.87 = −45°

उत्तर

θ_s = −30.13°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −79.64 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = −40 + −40·0.866 + −10·0.5 = −79.64 MPa

उत्तर

σ_θ = −79.64 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.05909 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1.269 × 10⁹ N

संकुचन

δ = 250000·300/1.269 × 10⁹ = 0.05909 mm

उत्तर

δ = 0.05909 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 283.1 kN

क्षेत्रफल

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·3063 = 4.045 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.00075, 0.0007) = 0.0007 (पीतल)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0007·4.045 × 10⁸ = 283136 N = 283.1 kN

उत्तर

P_max = 283.1 kN

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 14.74 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·5000 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/5000² = 14739 N = 14.74 kN

उत्तर

P_cr = 14.74 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 38.86 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133.3

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

उत्तर

σ_cr = 38.86 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.02975

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(15/7.1) = 0.187

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.187/√(39.48 + 0.03496) = 0.02975

उत्तर

ζ = 0.02975

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 7.742 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·30/(112 + 30) = 23.66 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(23662/10) = 48.64 rad/s

f_n = 48.64/(2π) = 7.742 Hz

उत्तर

f_n = 7.742 Hz

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