गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
960 rpm पर एक 0.55 kW मोटर 1 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 30 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 55% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण Tw ज्ञात कीजिए।
z = 1Nw = 30n = 960 rpmP = 0.55 kWη = 55%
Tw = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
1450 rpm पर एक 11 kW मोटर गियर A (15 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (30 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (25 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (45 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 97% है। निर्गम बलाघूर्ण Tout ज्ञात कीजिए।
P = 11 kWnin = 1450 rpmA = 15B = 30C = 25D = 45ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
30 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2 m पर B पर 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 3 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 750 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 30 mmTB = 100 N·mTC = 750 N·mAB = 2 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
σx = 10 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 15° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = 90 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 15 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।
P = 120 kNखंड 1: Ø25 mm, 2 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 0.5 m, पीतल (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 10 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 10 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 5 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.3 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 5 kgk = 200 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 5 kN/m और k₂ = 80 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
m = 25 kgk1 = 5 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tw = 90.27 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
व्हील की चाल
nw = n·z/Nw = 960·1/30 = 32 rpm
निर्गत बलाघूर्ण
ωw = 2π·32/60 = 3.351 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.55·550/3.351 = 90.27 N·m
उत्तर
Tw = 90.27 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tout = 245.4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
निर्गत चाल
nout = 1450·(15/30)·(25/45) = 402.8 rpm
ωout = 2π·402.8/60 = 42.18 rad/s
निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण
Pout = 11000·0.97² = 10350 W
Tout = Pout/ωout = 10350/42.18 = 245.4 N·m
उत्तर
Tout = 245.4 N·m
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 2.28 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0.03979 rad
φ = 0.03979·180/π = 2.28°
उत्तर
φ = 2.28°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 141.5 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 100 = 650 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।
|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa
उत्तर
τmax = 141.5 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 31.62 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
मोर वृत्त की त्रिज्या
τmax = R = √(((10 − 30)/2)² + 30²) = 31.62 MPa
उत्तर
τmax = 31.62 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 100.3 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 55 + 35·0.866 + 30·0.5 = 100.3 MPa
उत्तर
σθ = 100.3 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.1814 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706.9 = 21.22 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 21.22/117000 = 0.0001814 = 181.4 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.0001814·1000 mm = 0.1814 mm
उत्तर
δ = 0.1814 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σmax = 382 MPa
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 244.5 MPa
σ2 = 382 MPa
सबसे बड़ा प्रतिबल
पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।
σmax = 382 MPa
उत्तर
σmax = 382 MPa
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 27.56 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN
उत्तर
Pcr = 27.56 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 30.14 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 30.14 mm
उत्तर
d = 30.14 mm
जाँच: तनुता KL/r = 265.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 30.36 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(200000/5) = 200 rad/s
fn = 200/(2π) = 31.83 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 31.83·√(1 − 0.3²) = 30.36 Hz
उत्तर
fd = 30.36 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: keq = 85 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 5 + 80 = 85 kN/m
उत्तर
keq = 85 kN/m
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