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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

125 mm की घिरनी 1500 rpm पर पट्टे से 315 mm की घिरनी को 2 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 1500 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 12 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 20 दाँत हैं। रिंग गियर स्थिर रखा गया है और सन को 1800 rpm पर चलाया जाता है। प्लैनेट कैरियर की चाल n_c ज्ञात कीजिए।

N_s = 12N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखला पीतल शाफ़्ट (बाहरी व्यास 50 mm, भीतरी व्यास 25 mm, लंबाई 2 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 400 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 1000 rpm पर 30 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.8 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −80 MPa, σᵧ = 120 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = −80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa और τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 355 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 400 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.3 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 200 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 30 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 10 mm के विस्थापन शिखर के 5 चक्र बाद 1.5 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 10 mmx₅ = 1.5 mmn = 5

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 100 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 100 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 20 kN/m और k₂ = 50 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 583.3 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

1500·125/315 = 595.2 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 595.2·0.98 = 583.3 rpm

उत्तर

n₂ = 583.3 rpm

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_c = 337.5 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·20 = 52

रिंग स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_r = 0 रखें और कैरियर की चाल के लिए हल करें।

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −52/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·12/64 = 337.5 rpm

उत्तर

n_c = 337.5 rpm

कैरियर सन की ही दिशा में घूमता है।

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.043 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

मरोड़ कोण

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·2000/(39000·575243) = 0.03566 rad

φ = 0.03566·180/π = 2.043°

उत्तर

φ = 2.043°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 39.53 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 286.5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·40·0.5904)) = 39.53 mm

d_i = 0.8·39.53 = 31.63 mm

उत्तर

d_o = 39.53 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 33.16 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 116.6 MPa

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((−80 − 120)/2)² + −60²) = 116.6 MPa

उत्तर

τ_max = 116.6 MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 3.31

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 5 MPa, R = 61.85 MPa

σ₁ = 66.85 MPa, σ₂ = −56.85 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(66.85² − 66.85·(−56.85) + (−56.85)²) = 107.2 MPa

n = 355/107.2 = 3.31

उत्तर

n = 3.31

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 47.76 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2.037 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.3/6.281 × 10⁻⁶ = 47761 N = 47.76 kN

उत्तर

P = 47.76 kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 18.67 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 40000·247400/750055 = 13194 N

प्रतिबल

σ₂ = 13194/706.9 = 18.67 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 18.67 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 11.51 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·4000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/4000² = 11515 N = 11.51 kN

उत्तर

P_cr = 11.51 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 68.23 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 68.23 mm

उत्तर

d = 68.23 mm

जाँच: तनुता KL/r = 205.2 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.06028

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/5)·ln(10/1.5) = 0.3794

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3794/√(39.48 + 0.144) = 0.06028

उत्तर

ζ = 0.06028

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.23 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 20 + 50 = 70 kN/m

k_eq = 70·100/(70 + 100) = 41.18 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(41176/100) = 20.29 rad/s

f_n = 20.29/(2π) = 3.23 Hz

उत्तर

f_n = 3.23 Hz

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