मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर एक 1.1 kW मोटर 2 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 30 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 70% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण T_w ज्ञात कीजिए।

z = 2N_w = 30n = 1440 rpmP = 1.1 kWη = 70%

T_w = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 160 mm की घिरनी और 400 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 1200 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 160 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस स्टील शाफ़्ट 1000 rpm पर 75 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 2000 N·m के बलाघूर्ण के साथ 1500 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmM = 1500 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 20 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 300 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 125 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 125 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 500 kg द्रव्यमान 50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 500 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 500 kgk = 50 kN/mc = 500 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 100 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 100 kN/m और k₂ = 40 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_w = 76.59 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1440·2/30 = 96 rpm

निर्गत बलाघूर्ण

ω_w = 2π·96/60 = 10.05 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.7·1100/10.05 = 76.59 N·m

उत्तर

T_w = 76.59 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: θ = 168.5 °

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे का कोण

asin(0.1) = 5.739°

लपेट कोण

θ = 180 − 2·5.739 = 168.5°

उत्तर

θ = 168.5°

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 3.648 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·15708) = 0.06366 rad

φ = 0.06366·180/π = 3.648°

उत्तर

φ = 3.648°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 67.61 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 716.2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·40)) = 45.01 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 67.61 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(45.01, 67.61) = 67.61 mm

उत्तर

d = 67.61 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = 6.264 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·20, 100 − −80) = 12.53°

अवयव पर कोण

θ_p = 6.264°

उत्तर

θ_p = 6.264°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 94.31 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·60³) = 70.74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 35.37 MPa

R = √(35.37² + 47.16²) = 58.95 MPa

σ₁ = C + R = 94.31 MPa

σ₂ = C − R = −23.58 MPa

उत्तर

σ₁ = 94.31 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.7958 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314.2 = 63.66 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 63.66/200000 = 0.0003183 = 318.3 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0003183·2500 mm = 0.7958 mm

उत्तर

δ = 0.7958 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 10.75 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1.037 × 10⁶ N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 40000·1.037 × 10⁶/1.364 × 10⁶ = 30403 N

प्रतिबल

σ₂ = 30403/2827 = 10.75 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 10.75 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 241.7 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1050² = 241705 N = 241.7 kN

उत्तर

P_cr = 241.7 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 58.67 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 58.67 mm

उत्तर

d = 58.67 mm

जाँच: तनुता KL/r = 119.3 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.05

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·500) = 10000 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 500/10000 = 0.05

उत्तर

ζ = 0.05

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 5.436 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 100 + 40 = 140 kN/m

k_eq = 140·100/(140 + 100) = 58.33 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(58333/50) = 34.16 rad/s

f_n = 34.16/(2π) = 5.436 Hz

उत्तर

f_n = 5.436 Hz

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