मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर एक 0.75 kW मोटर 1 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 36 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 60% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण T_w ज्ञात कीजिए।

z = 1N_w = 36n = 960 rpmP = 0.75 kWη = 60%

T_w = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 3000 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (45 दाँत) को चलाता है। गियर C (45 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (72 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 3000 rpmA = 12B = 45C = 45D = 72

n_out = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक सोपानी ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 75 mm और लंबाई 0.5 m है; खंड BC का व्यास 30 mm और लंबाई 0.5 m है। मुक्त सिरे C पर 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C का मरोड़ कोण φ_C डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1450 rpm पर 15 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 80 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa और σᵧ = 30 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 50 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τ_xy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −10 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = −10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 20 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और पीतल का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 200 mm, E = 100 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 30 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 130 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 130 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 20 mm के विस्थापन शिखर के 3 चक्र बाद 9.4 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 20 mmx₃ = 9.4 mmn = 3

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 25 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 20 kN/m और k₂ = 60 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_w = 161.1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 960·1/36 = 26.67 rpm

निर्गत बलाघूर्ण

ω_w = 2π·26.67/60 = 2.793 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.6·750/2.793 = 161.1 N·m

उत्तर

T_w = 161.1 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 500 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 3000·12/45 = 800 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 800·45/72 = 500 rpm

उत्तर

n_out = 500 rpm

कुल अनुपात = 6 : 1

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 2.309 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

हर खंड का मरोड़

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·500/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.001006 rad

φ_BC = 500000·500/(80000·79522) = 0.0393 rad

कुल मरोड़

φ_C = 0.001006 + 0.0393 = 0.0403 rad = 2.309°

उत्तर

φ_C = 2.309°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 18.46 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·80)) = 18.46 mm

उत्तर

d = 18.46 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_xy = 20 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

आवश्यक त्रिज्या

C = (30 + 30)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 50 − 30 = 20 MPa

अपरूपण प्रतिबल

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 0²) = 20 MPa

उत्तर

τ_xy = 20 MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 100 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 50 + −60·0 + 50·1 = 100 MPa

उत्तर

σ_θ = 100 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 2.125 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/117000 = 0.0008502 = 850.2 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0008502·2500 mm = 2.125 mm

उत्तर

δ = 2.125 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 26.65 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·706.9/200 = 353429 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 30000·353429/562869 = 18837 N

प्रतिबल

σ₂ = 18837/706.9 = 26.65 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 26.65 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 226.6 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1400² = 226598 N = 226.6 kN

उत्तर

P_cr = 226.6 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 91.14 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 91.14 mm

उत्तर

d = 91.14 mm

जाँच: तनुता KL/r = 131.7 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.04002

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/3)·ln(20/9.4) = 0.2517

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2517/√(39.48 + 0.06334) = 0.04002

उत्तर

ζ = 0.04002

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.473 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 20 + 60 = 80 kN/m

k_eq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(19048/40) = 21.82 rad/s

f_n = 21.82/(2π) = 3.473 Hz

उत्तर

f_n = 3.473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design