मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 90 mm दूर हैं। इन्हें 3 mm मॉड्यूल और 2 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। गियर में कितने दाँत N₂ होने चाहिए?

a = 90 mmm = 3 mmi = 2

N₂ =

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 15 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 24 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 1440 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल n_r (परिमाण) ज्ञात कीजिए।

N_s = 15N_p = 24n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1000 rpm पर 5 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 75 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −80 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = −80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 30° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 140 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

पीतल छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 35 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 90 kNखंड 1: Ø30 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 120 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 120 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

100 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 8 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.45 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 8 kgk = 100 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 80 kN/m और निचला k₂ = 40 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₂ = 40

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/3 = 60

अनुपात से बाँटें

N₁ = 60/(1 + 2) = 20

N₂ = 2·20 = 40

उत्तर

N₂ = 40

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_r = 342.9 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·24 = 63

कैरियर स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_c = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·15/63 = −342.9 rpm

|n_r| = 342.9 rpm

उत्तर

n_r = 342.9 rpm

रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 6.412 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·251327) = 0.1119 rad

φ = 0.1119·180/π = 6.412°

उत्तर

φ = 6.412°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 14.8 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·75)) = 14.8 mm

उत्तर

d = 14.8 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 41.23 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((−80 − −60)/2)² + −40²) = 41.23 MPa

उत्तर

τ_max = 41.23 MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 148.3 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 70 + 70·0.5 + −50·−0.866 = 148.3 MPa

उत्तर

σ_θ = 148.3 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 713 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490.9 = 71.3 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 71.3/100000 = 0.000713 = 713 µε

उत्तर

ε = 713 µε

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 795.8 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 127.3 MPa

σ₂ = 795.8 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 795.8 MPa

उत्तर

σ_max = 795.8 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 48.06 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2100² = 48063 N = 48.06 kN

उत्तर

P_cr = 48.06 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 96.49 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 96.49 mm

उत्तर

d = 96.49 mm

जाँच: तनुता KL/r = 145.1 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 15.89 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(100000/8) = 111.8 rad/s

f_n = 111.8/(2π) = 17.79 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17.79·√(1 − 0.45²) = 15.89 Hz

उत्तर

f_d = 15.89 Hz

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.676 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/80 + 1/40 → k_eq = 80·40/(80 + 40) = 26.67 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(26667/50) = 23.09 rad/s

f_n = 23.09/(2π) = 3.676 Hz

उत्तर

f_n = 3.676 Hz

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