गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1440 rpm पर चल रही एक 5.5 kW मोटर 48 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 72 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 97% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 5.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 48N2 = 72η = 97%
T1 = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 3000 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (48 दाँत) गियर B (50 दाँत) को चलाता है। गियर C (30 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (72 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 3000 rpmA = 48B = 50C = 30D = 72
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 500 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस शाफ़्ट को 750 rpm पर 100 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 100 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θs, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = −20 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 460 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।
σx = 30 MPaσy = 40 MPaτxy = 60 MPaσY = 460 MPa
n =
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.2 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।
P = 115 kNखंड 1: Ø35 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 0.5 m, स्टील (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 80 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 80 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 15 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 5.5 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
x0 = 15 mmx4 = 5.5 mmn = 4
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 100 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 30 kN/m और k₂ = 10 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 100 kgk1 = 30 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 36.47 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/150.8 = 36.47 N·m
उत्तर
T1 = 36.47 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 1200 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 3000·48/50 = 2880 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 2880·30/72 = 1200 rpm
उत्तर
nout = 1200 rpm
कुल अनुपात = 2.5 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 1.459 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·613592) = 0.02546 rad
φ = 0.02546·180/π = 1.459°
उत्तर
φ = 1.459°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 47.63 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
अनुमेय प्रतिबल से व्यास
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·60)) = 47.63 mm
उत्तर
d = 47.63 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θs = −9.217 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।
cos 2θs = 30/31.62 = 0.9487, sin 2θs = −10/31.62 = −0.3162
2θs = atan2(−10, 30) = −18.43°
अवयव पर कोण
θs = −9.217°
जाँच: θs − θp = −9.217 − 35.78 = −45°
उत्तर
θs = −9.217°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: n = 3.82
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।
मुख्य प्रतिबल
C = 35 MPa, R = 60.21 MPa
σ1 = 95.21 MPa, σ2 = −25.21 MPa, σ3 = 0
ट्रेस्का
σmax − σmin = 120.4 MPa
n = 460/120.4 = 3.82
उत्तर
n = 3.82
n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 48.13 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.2/4.156 × 10⁻⁶ = 48127 N = 48.13 kN
उत्तर
P = 48.13 kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σmax = 1017 MPa
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 119.5 MPa
σ2 = 1017 MPa
सबसे बड़ा प्रतिबल
पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।
σmax = 1017 MPa
उत्तर
σmax = 1017 MPa
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 139.5 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN
उत्तर
Pcr = 139.5 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 66.38 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 66.38 mm
उत्तर
d = 66.38 mm
जाँच: तनुता KL/r = 168.7 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.03989
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
लघुगणकीय ह्रास
δ = (1/4)·ln(15/5.5) = 0.2508
अवमंदन अनुपात
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989
उत्तर
ζ = 0.03989
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 3.183 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 30 + 10 = 40 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(40000/100) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
उत्तर
fn = 3.183 Hz
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