गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
960 rpm पर चल रही एक 11 kW मोटर 12 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 20 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T2 ज्ञात कीजिए।
P = 11 kWn1 = 960 rpmN1 = 12N2 = 20η = 95%
T2 = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1450 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (24 दाँत) गियर B (48 दाँत) को चलाता है। गियर C (36 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (50 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 1450 rpmA = 24B = 48C = 36D = 50
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 400 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
30 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2.5 m पर B पर 400 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 0.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 1000 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 30 mmTB = 400 N·mTC = 1000 N·mAB = 2.5 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
σx = 90 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 80 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 100 GPa) के भीतर है। दोनों 800 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 250 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।
P = 250 kNछड़: Ø30 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 150 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 80 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaनलिका: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 15 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 15 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक 200 kg द्रव्यमान 50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 1580 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
m = 200 kgk = 50 kN/mc = 1580 N·s/m
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 60 kN/m और निचला k₂ = 60 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T2 = 173.2 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m
निर्गत बलाघूर्ण
T2 = 109.4·20/12·0.95 = 173.2 N·m
उत्तर
T2 = 173.2 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 522 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 1450·24/48 = 725 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 725·36/50 = 522 rpm
उत्तर
nout = 522 rpm
कुल अनुपात = 2.778 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 2.873 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·613592) = 0.05015 rad
φ = 0.05015·180/π = 2.873°
उत्तर
φ = 2.873°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 188.6 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 400 = 600 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।
|T|max = 1000 N·m
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188.6 MPa
उत्तर
τmax = 188.6 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 28.28 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
मोर वृत्त की त्रिज्या
τmax = R = √(((90 − 50)/2)² + 20²) = 28.28 MPa
उत्तर
τmax = 28.28 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 133 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 60 + 80·0.1736 + 60·0.9848 = 133 MPa
उत्तर
σθ = 133 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.4468 mm
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N
संकुचन
δ = 250000·800/4.477 × 10⁸ = 0.4468 mm
उत्तर
δ = 0.4468 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 930.5 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1.279 × 10⁹ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.00075, 0.0007273) = 0.0007273 (काँसा)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0007273·1.279 × 10⁹ = 930483 N = 930.5 kN
उत्तर
Pmax = 930.5 kN
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 44.98 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 1·4000 = 4000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/4000² = 44979 N = 44.98 kN
उत्तर
Pcr = 44.98 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 51.27 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 51.27 mm
उत्तर
d = 51.27 mm
जाँच: तनुता KL/r = 195 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.2498
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
क्रांतिक अवमंदन
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·200) = 6325 N·s/m
अवमंदन अनुपात
ζ = c/cc = 1580/6325 = 0.2498
उत्तर
ζ = 0.2498
ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: keq = 30 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/60 + 1/60 → keq = 60·60/(60 + 60) = 30 kN/m
उत्तर
keq = 30 kN/m
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