गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
एक पट्टा 160 mm की चालक घिरनी पर 960 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 500 N और ढीली ओर 250 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 160 mmn1 = 960 rpmT1 = 500 NT2 = 250 N
P = kW
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (12 दाँत) 1500 rpm पर घूमता है और गियर B (16 दाँत) को चलाता है। गियर C (32 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 750 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत ND होने चाहिए?
nin = 1500 rpmA = 12B = 16C = 32nout = 750 rpm
ND =
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखला स्टील शाफ़्ट (बाहरी व्यास 60 mm, भीतरी व्यास 30 mm, लंबाई 1.5 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 2000 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 2000 N·mdo = 60 mmdi = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखला शाफ़्ट 750 rpm पर 100 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
P = 100 kWN = 750 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 40° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σy′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।
σx = −20 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −10 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 25° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = −10 MPaσy = 0 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 300 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.3 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 120 MPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 100 GPa, अनुमेय प्रतिबल 60 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm
σcr = MPa
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 15 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.4 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 15 kgk = 40 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 50 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 40 kN/m और निचला k₂ = 50 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 2.011 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 8.042 m/s
शक्ति
P = (500 − 250)·8.042 = 2011 W = 2.011 kW
उत्तर
P = 2.011 kW
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: ND = 48
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल
nB = nC = 1500·12/16 = 1125 rpm
गियर D के दाँत
ND = C·nC/nout = 32·1125/750 = 48
उत्तर
ND = 48
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 1.801 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
मरोड़ कोण
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1500/(80000·1.193 × 10⁶) = 0.03144 rad
φ = 0.03144·180/π = 1.801°
उत्तर
φ = 1.801°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 34.49 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
τmax = T·(do/2)/J = 1.273 × 10⁶·30/1.107 × 10⁶ = 34.49 MPa
उत्तर
τmax = 34.49 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σy′ = −8.467 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण
σy′ = 15 − (−35)·0.1736 − 30·0.9848 = −8.467 MPa
जाँच
घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।
σx′ = 38.47 MPa, σx′ + σy′ = 30 = σx + σy
उत्तर
σy′ = −8.467 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = −23.53 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = −5 + −5·0.6428 + −20·0.766 = −23.53 MPa
उत्तर
σθ = −23.53 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 144.4 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8.842 × 10⁻⁷ mm/N
भार
P = 0.3/2.078 × 10⁻⁶ = 144380 N = 144.4 kN
उत्तर
P = 144.4 kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 593.8 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.0006, 0.0006) = 0.0006 (पीतल)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0006·9.896 × 10⁸ = 593761 N = 593.8 kN
उत्तर
Pmax = 593.8 kN
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 24.22 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 2·2500 = 5000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN
उत्तर
Pcr = 24.22 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 1.974 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/10 = 1000
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1.974 MPa
उत्तर
σcr = 1.974 MPa
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 7.533 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(40000/15) = 51.64 rad/s
fn = 51.64/(2π) = 8.219 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 8.219·√(1 − 0.4²) = 7.533 Hz
उत्तर
fd = 7.533 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 3.355 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/40 + 1/50 → keq = 40·50/(40 + 50) = 22.22 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(22222/50) = 21.08 rad/s
fn = 21.08/(2π) = 3.355 Hz
उत्तर
fn = 3.355 Hz
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