गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1500 rpm पर चल रही एक 1.5 kW मोटर 15 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 32 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 98% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 1.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 15N2 = 32η = 98%
T1 = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
1440 rpm पर एक 1.1 kW मोटर गियर A (12 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (15 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (36 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (72 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 96% है। निर्गम बलाघूर्ण Tout ज्ञात कीजिए।
P = 1.1 kWnin = 1440 rpmA = 12B = 15C = 36D = 72ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक सोपानी ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 25 mm और लंबाई 0.5 m है; खंड BC का व्यास 20 mm और लंबाई 2 m है। मुक्त सिरे C पर 200 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
T = 200 N·md1 = 25 mm, L1 = 0.5 md2 = 20 mm, L2 = 2 m
τmax = MPa
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
60 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 1.5 m और B से 2.5 m पर C पर 750 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। खंड C का घूर्णन कोण φC डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d = 60 mmT0 = 750 N·ma = 1.5 mb = 2.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 35° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σy′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।
σx = 120 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 20° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = −50 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 45 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 15 kNखंड 1: Ø35 mm, 2 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)
δ = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 105 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 105 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक 12 kg द्रव्यमान 200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 770 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
m = 12 kgk = 200 kN/mc = 770 N·s/m
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 5 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 30 kN/m और निचला k₂ = 40 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
m = 5 kgk1 = 30 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 9.549 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m
उत्तर
T1 = 9.549 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tout = 16.81 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
निर्गत चाल
nout = 1440·(12/15)·(36/72) = 576 rpm
ωout = 2π·576/60 = 60.32 rad/s
निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण
Pout = 1100·0.96² = 1014 W
Tout = Pout/ωout = 1014/60.32 = 16.81 N·m
उत्तर
Tout = 16.81 N·m
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 127.3 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
हर खंड में प्रतिबल
T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa
τBC = 16·200000/(π·20³) = 127.3 MPa
उत्तर
τmax = 127.3 MPa
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 1.218 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2.5/4 = 468.8 N·m
TB = 750·1.5/4 = 281.3 N·m
C का घूर्णन
खंड AC का उपयोग करें: यह A पर स्थिर है और TA वहन करता है।
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 468750·1500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.02125 rad = 1.218°
उत्तर
φC = 1.218°
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σy′ = −70.58 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण
σy′ = 20 − 100·0.342 − 60·0.9397 = −70.58 MPa
जाँच
घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।
σx′ = 110.6 MPa, σx′ + σy′ = 40 = σx + σy
उत्तर
σy′ = −70.58 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = −19.03 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = −55 + 5·0.766 + 50·0.6428 = −19.03 MPa
उत्तर
σθ = −19.03 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 1.679 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 45·1000/201.1 = 223.8 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 223.8/200000 = 0.001119 = 1119 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.001119·1500 mm = 1.679 mm
उत्तर
δ = 1.679 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 1.856 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 15.59 MPa
σ2 = 132.6 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 15.59·2000/200000 = 0.1559 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 132.6·1500/117000 = 1.7 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.856 mm
उत्तर
δ = 1.856 mm
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 27.47 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 1·1000 = 1000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN
उत्तर
Pcr = 27.47 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 120.1 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 120.1 mm
उत्तर
d = 120.1 mm
जाँच: तनुता KL/r = 266.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.2485
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
क्रांतिक अवमंदन
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·12) = 3098 N·s/m
अवमंदन अनुपात
ζ = c/cc = 770/3098 = 0.2485
उत्तर
ζ = 0.2485
ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: keq = 17.14 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/30 + 1/40 → keq = 30·40/(30 + 40) = 17.14 kN/m
उत्तर
keq = 17.14 kN/m
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