मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

4 स्टार्ट वाला एक वर्म 1440 rpm पर घूमता है और 30 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 4N_w = 30n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1450 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (18 दाँत) गियर B (80 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (45 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1450 rpmA = 18B = 80C = 12D = 45

n_out = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक सोपानी ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 60 mm और लंबाई 1.5 m है; खंड BC का व्यास 40 mm और लंबाई 2 m है। मुक्त सिरे C पर 1000 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 1500 rpm पर 15 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.75 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 80 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0.75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = 60 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = −20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

800 mm भीतरी व्यास और 6 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 60° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 800 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.25 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 100 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 250 kg द्रव्यमान 40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 1580 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 250 kgk = 40 kN/mc = 1580 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 12 kN/m और k₂ = 50 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 192 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1440·4/30 = 192 rpm

उत्तर

n_w = 192 rpm

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 87 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 1450·18/80 = 326.3 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 326.3·12/45 = 87 rpm

उत्तर

n_out = 87 rpm

कुल अनुपात = 16.67 : 1

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 79.58 MPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

हर खंड में प्रतिबल

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23.58 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79.58 MPa

उत्तर

τ_max = 79.58 MPa

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 20.72 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·80·0.6836)) = 20.72 mm

d_i = 0.75·20.72 = 15.54 mm

उत्तर

d_o = 20.72 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 18.25 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = 71.57 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·30, −20 − 60) = 143.1°

अवयव पर कोण

θ_p = 71.57°

उत्तर

θ_p = 71.57°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 83.33 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/6 = 133.3 MPa

σ_a = pr/(2t) = 66.67 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 66.67·sin²60° + 133.3·cos²60° = 83.33 MPa

उत्तर

σ_n = 83.33 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 60.16 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.25/4.156 × 10⁻⁶ = 60158 N = 60.16 kN

उत्तर

P = 60.16 kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 62.53 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 110000·706.9/300 = 259181 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 100000·259181/586431 = 44196 N

प्रतिबल

σ₂ = 44196/706.9 = 62.53 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 62.53 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 37.85 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·4000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN

उत्तर

P_cr = 37.85 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 6.12 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/6.25 = 336

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6.12 MPa

उत्तर

σ_cr = 6.12 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.2498

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·250) = 6325 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 1580/6325 = 0.2498

उत्तर

ζ = 0.2498

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 62 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 12 + 50 = 62 kN/m

उत्तर

k_eq = 62 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design