पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 10 mmस्टील1.5 mP = 10 kN

स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 25 mmताँबा2 mØ 12 mmपीतल1 mP = 65 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNखंड 1: Ø25 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
do​ = 40, di​ = 30 mmT = 1500 N·mL = 0.8 m

एक खोखला एल्युमिनियम शाफ़्ट (बाहरी व्यास 40 mm, भीतरी व्यास 30 mm, लंबाई 0.8 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 1500 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 1500 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

एक खोखला शाफ़्ट 500 rpm पर 30 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 500 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
P1​ = 15 kNP2​ = 15 kNAB1.5 m0.5 m3 m

सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP1 = 15 kN पर 1.5 mP2 = 15 kN पर 2 m
Mmax = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 3 kN/mP = 15 kNABखंड2.5 m1 m0.5 m

आलंब A से x = 3.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 15 kN पर 2.5 mw = 3 kN/m, 0 से 4 m तकx = 3.5 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
2002030020xआयाम mm में

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
170260226xM = 150 kN·mआयाम mm में

एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 170 mm चौड़े और 22 mm मोटे हैं, कुल गहराई 260 mm है और वेब 6 mm मोटा है। यह अक्ष x के परितः 150 kN·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। वेब और ऊपरी फ़्लेंज के जोड़ पर बंकन प्रतिबल σj का परिमाण ज्ञात कीजिए।

B = 170 mmH = 260 mmtf = 22 mmtw = 6 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = −10σy​ = 110τxy​ = −50MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −10 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σx = −10 MPaσy = 110 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 30σy​ = −20τxy​ = 50MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 20° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σx = 30 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 2 kN/mδL = 8 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (स्टील)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 6 kN/mAB4 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 4 mw = 6 kN/m
MA = kN·m
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 1 m25 × 60 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 1.5 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 636.6 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78.54 = 127.3 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/200000 = 0.0006366 = 636.6 µε

उत्तर

ε = 636.6 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 574.7 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 132.4 MPa
σ2 = 574.7 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 574.7 MPa

उत्तर

σmax = 574.7 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 15.39 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

मरोड़ कोण

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·800/(26000·171806) = 0.2686 rad
φ = 0.2686·180/π = 15.39°

उत्तर

φ = 15.39°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τmax = 15.52 MPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τmax = T·(do/2)/J = 572958·30/1.107 × 10⁶ = 15.52 MPa

उत्तर

τmax = 15.52 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 31.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1.5 + 15·2
RB = 52.5/5 = 10.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 10.5 = 19.5 kN

हर भार के नीचे आघूर्ण

हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।

भार P1: M = RA·1.5 = 19.5·1.5 = 29.25 kN·m
भार P2: M = RB·3 = 10.5·3 = 31.5 kN·m

सबसे बड़ा मान

Mmax = 31.5 kN·m (भार P2)

उत्तर

Mmax = 31.5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 7.313 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2.5 + 3·4·2
RB = 61.5/4 = 15.38 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 15.38 = 11.63 kN
w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​ = 11.63RB​ = 15.38खंड2.5 m1 m0.5 m

x = 3.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 11.63·3.5 − 15·(3.5 − 2.5) − 3·3.5·1.75 = 7.313 kN·m

उत्तर

Mx = 7.313 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 106.6 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
वेब: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·310 + 6000·150)/10000 = 214 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 200·20³/12 + 4000·(310 − 214)² = 3.7 × 10⁷ mm⁴
वेब: 20·300³/12 + 6000·(150 − 214)² = 6.958 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.7 × 10⁷ + 6.958 × 10⁷ = 1.066 × 10⁸ mm⁴ = 106.6 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 106.6 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σj = 145.6 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर

दोनों कटाव मिलकर (B − tw) चौड़े और hw = H − 2tf ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।

hw = 260 − 2·22 = 216 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·260³ − 164·216³)/12
Ix = 1.113 × 10⁸ mm⁴

बंकन प्रतिबल

y = 130 − 22 = 108 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·108/1.113 × 10⁸ = 145.6 MPa

उत्तर

σj = 145.6 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θp = −70.1 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCσ1​σ2​

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θp = atan2(2·−50, −10 − 110) = −140.2°

अवयव पर कोण

θp = −70.1°

उत्तर

θp = −70.1°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σθ = −7.988 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

रूपांतरण समीकरण

σθ = 5 + 25·0.766 + 50·−0.6428 = −7.988 MPa

उत्तर

σθ = −7.988 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 4.444 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 4.444 mm

उत्तर

δmax = 4.444 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: MA = 12 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

MA = wL²/2 − RB·L = 48 − 36 = 12 kN·m

उत्तर

MA = 12 kN·m
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 38.55 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1000 = 2000 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38.55 kN

उत्तर

Pcr = 38.55 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 4.318 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/7.5 = 400

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

उत्तर

σcr = 4.318 MPa

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