पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 300 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 200 MPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 120 GPa, अनुमेय प्रतिबल 80 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखला स्टील शाफ़्ट (बाहरी व्यास 75 mm, भीतरी व्यास 53 mm, लंबाई 0.5 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 2000 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

50 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2 m पर B पर 1000 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 0.8 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 2000 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2 mBC = 0.8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

20 kN @ 6 m12 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंब B पर बंकन आघूर्ण M_B ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 7.5 mw = 3 kN/m, 0 से 7.5 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर

M_B = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 160 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 140 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 20 mm मोटी हैं। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 160 mmh = 140 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 30 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa और σᵧ = −40 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 40 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τ_xy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 40 MPa

τ_xy = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 200 N·m के बलाघूर्ण के साथ 750 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmM = 750 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 91.39 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.4/4.377 × 10⁻⁶ = 91392 N = 91.39 kN

उत्तर

P = 91.39 kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 772.8 kN

क्षेत्रफल

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.001, 0.0006667) = 0.0006667 (ताँबा)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0006667·1.159 × 10⁹ = 772832 N = 772.8 kN

उत्तर

P_max = 772.8 kN

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 0.3072 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

मरोड़ कोण

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(80000·2.332 × 10⁶) = 0.005361 rad

φ = 0.005361·180/π = 0.3072°

उत्तर

φ = 0.3072°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 12.93 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 1000 = 1000 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(26000·613592) = 0.1254 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·800/(26000·613592) = 0.1003 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.1254 + 0.1003 = 0.2257 rad → |φ_C| = 12.93°

उत्तर

φ_C = 12.93°

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 6 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 34 kN, R₂ = 34 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 68, M_C = 136, M_D = 180 kN·m, M_E = 136, M_F = 68, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 180 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_B = −9.375 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·7.5 = 22.5 kN, x̄ = 3.75 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·7.5·3.75

R_B = 84.38/5 = 16.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22.5 − 16.88 = 5.625 kN

B पर काटें और ओवरहैंग रखें

ओवरहैंग पर भार w·a, B से a/2 पर कार्य करता है और बीम को आलंब के ऊपर हॉग कराता है।

M_B = −w·a²/2 = −3·2.5²/2 = −9.375 kN·m

उत्तर

M_B = −9.375 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 15.27 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

दो भुजाएँ: A₂ = 2·20·120 = 4800 mm², y₂ = 20 + 120/2 = 80 mm

केंद्रक

ȳ = (3200·10 + 4800·80)/8000 = 52 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

आधार: 160·20³/12 + 3200·(10 − 52)² = 5.751 × 10⁶ mm⁴

दो भुजाएँ: 2·20·120³/12 + 4800·(80 − 52)² = 9.523 × 10⁶ mm⁴

I_x = 5.751 × 10⁶ + 9.523 × 10⁶

I_x = 1.527 × 10⁷ mm⁴ = 15.27 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 15.27 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 85.61 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

वेब: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·315 + 3600·150)/9600 = 253.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 200·30³/12 + 6000·(315 − 253.1)² = 2.342 × 10⁷ mm⁴

वेब: 12·300³/12 + 3600·(150 − 253.1)² = 6.529 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.342 × 10⁷ + 6.529 × 10⁷ = 8.871 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 253.1 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·253.1/8.871 × 10⁷ = 85.61 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 85.61 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_xy = 69.28 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

आवश्यक त्रिज्या

C = (−20 + (−40))/2 = −30 MPa

R = σ₁ − C = 40 − (−30) = 70 MPa

अपरूपण प्रतिबल

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 10²) = 69.28 MPa

उत्तर

τ_xy = 69.28 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 121.5 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119.4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 59.68 MPa

R = √(59.68² + 15.92²) = 61.77 MPa

σ₁ = C + R = 121.5 MPa

σ₂ = C − R = −2.086 MPa

उत्तर

σ₁ = 121.5 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 7.533 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 7.533 mm

उत्तर

δ_max = 7.533 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13.89) = 1.172 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 5.757 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1000 = 2000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5.757 kN

उत्तर

P_cr = 5.757 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 71.06 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7.5 = 166.7

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166.7² = 71.06 MPa

उत्तर

σ_cr = 71.06 MPa

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