अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 105 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 10 kNखंड 1: Ø40 mm, 0.5 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)
δ = mm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 750 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
60 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 0.8 m पर B पर 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1.2 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 1000 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φC का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d = 60 mmTB = 500 N·mTC = 1000 N·mAB = 0.8 mBC = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 5 mP1 = 45 kN पर 1 mP2 = 70 kN पर 3 m
Mmax = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 6 mw = 12 kN/m, 2 से 6 m तक
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
150 mm × 150 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 52.5 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 15 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।
bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 15 kN·m
σऊपर = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 60° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σy′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।
σx = 70 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 30° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई hreq ज्ञात कीजिए।
w = 2.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm
hreq = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 65 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 65 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 1.828 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/490.9 = 213.9 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 213.9/117000 = 0.001828 = 1828 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.001828·1000 mm = 1.828 mm
उत्तर
δ = 1.828 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.6764 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 7.958 MPa
σ2 = 31.83 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 7.958·500/100000 = 0.03979 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 31.83·2000/100000 = 0.6366 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.6764 mm
उत्तर
δ = 0.6764 mm
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 14.01 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·38350) = 0.2445 rad
φ = 0.2445·180/π = 14.01°
उत्तर
φ = 14.01°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 1.351 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 500 = 1500 N·m
हर खंड का मरोड़
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1.5 × 10⁶·800/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01179 rad
φBC = 1 × 10⁶·1200/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01179 rad
सिरे C का मरोड़
φC = 0.01179 + 0.01179 = 0.02358 rad → |φC| = 1.351°
उत्तर
φC = 1.351°
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 102 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
ΣMA = 0: RB·5 = 45·1 + 70·3
RB = 255/5 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 51 = 64 kN
हर भार के नीचे आघूर्ण
हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।
भार P1: M = RA·1 = 64·1 = 64 kN·m
भार P2: M = RB·2 = 51·2 = 102 kN·m
सबसे बड़ा मान
Mmax = 102 kN·m (भार P2)
उत्तर
Mmax = 102 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 42.67 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 12·4·4
RB = 192/6 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 32 = 16 kN
शून्य अपरूपण
अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 16/12 = 3.333 m
अधिकतम आघूर्ण
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 16·3.333 − 12·1.333²/2 = 42.67 kN·m
उत्तर
Mmax = 42.67 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 41.39 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (22500·75 − 1257·52.5)/(22500 − 1257) = 76.33 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
150·150³/12 + 22500·−1.331² = 42.23 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·40⁴/64 + 1257·−23.83² = 0.8393 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 41.39 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 41.39 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σऊपर = 18.05 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
वेब: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·235 + 1760·110)/10160 = 213.3 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 280·30³/12 + 8400·(235 − 213.3)² = 4.569 × 10⁶ mm⁴
वेब: 8·220³/12 + 1760·(110 − 213.3)² = 2.59 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.569 × 10⁶ + 2.59 × 10⁷ = 3.046 × 10⁷ mm⁴
बंकन प्रतिबल
ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।
y = 250 − 213.3 = 36.65 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·36.65/3.046 × 10⁷ = 18.05 MPa
उत्तर
σऊपर = 18.05 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σy′ = 118.3 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण
σy′ = 80 − (−10)·(−0.5) − (−50)·0.866 = 118.3 MPa
जाँच
घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।
σx′ = 41.7 MPa, σx′ + σy′ = 160 = σx + σy
उत्तर
σy′ = 118.3 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τθ = −59.64 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
τθ = −40·0.866 + −50·0.5 = −59.64 MPa
उत्तर
τθ = −59.64 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 64.9 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
विक्षेप
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 64.9 mm
उत्तर
δmax = 64.9 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: hreq = 187.1 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 2.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
विक्षेप सीमा
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
आवश्यक जड़त्व आघूर्ण
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 6.818 × 10⁷ mm⁴
आवश्यक गहराई
bh³/12 = Ireq → h = (12·6.818 × 10⁷/125)1/3 = 187.1 mm
उत्तर
hreq = 187.1 mm
व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 131.6 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131.6 kN
उत्तर
Pcr = 131.6 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 63.02 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 63.02 mm
उत्तर
d = 63.02 mm
जाँच: तनुता KL/r = 177.7 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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