पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
100 kNØ40110 GPaØ100/60300 mmδ = ?

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa) के भीतर है। दोनों 300 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 100 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 100 kNछड़: Ø40 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 40 mmपीतल1 mØ 12 mmताँबा2 mP = 60 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 60 kNखंड 1: Ø40 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)
δ = mm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mφ = ?

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
d = 40 mmT0​ = 100 N·mACBa = 3 mb = 0.8 m

40 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 3 m और B से 0.8 m पर C पर 100 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। दीवार A पर प्रतिक्रिया बलाघूर्ण TA ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 3 mb = 0.8 m
TA = N·m
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
w = 5 kN/mABखंड5 m1 m

आलंब A से x = 5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 5 kN/m, 0 से 6 m तकx = 5 m
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
12 kN/m10 kN60 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

10 kN @ 0 m60 kN @ 12 m40 kN @ 6 m12 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
B = 220H = 350t = 14xआयाम mm में

एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 220 mm, बाहरी ऊँचाई H = 350 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 14 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

B = 220 mmH = 350 mmt = 14 mm
r = mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
1802018012xM = 5 kN·mआयाम mm में

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 5 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σनीचे ज्ञात कीजिए।

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 180 mmM = 5 kN·m
σनीचे = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = −30σy​ = −70τxy​ = −10MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = −10 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

σx = −30 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
50°D = 800 mm, t = 5 mm, p = 0.5 MPap

800 mm भीतरी व्यास और 5 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 0.5 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 50° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σn ज्ञात कीजिए।

D = 800 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 50°
σn = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
P = 6 kNABδ1.5 m2.5 m

एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 1.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δP ज्ञात कीजिए।

P = 6 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 8 kN/mδL = 5 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 2 md = 60 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 4 md = 80 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.0373 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8.042 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 100000·300/8.042 × 10⁸ = 0.0373 mm

उत्तर

δ = 0.0373 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 9.546 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 47.75 MPa
σ2 = 530.5 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ1 = σ1L1/E1 = 47.75·1000/100000 = 0.4775 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 530.5·2000/117000 = 9.069 mm
δ = δ1 + δ2 = 9.546 mm

उत्तर

δ = 9.546 mm
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 12.26 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·38350) = 0.214 rad
φ = 0.214·180/π = 12.26°

उत्तर

φ = 12.26°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: TA = 21.05 N·m

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।

संतुलन और संगतता

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0.8/3.8 = 21.05 N·m
TB = 100·3/3.8 = 78.95 N·m

उत्तर

TA = 21.05 N·m
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 12.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15खंड5 m1 m

x = 5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 15·5 − 5·5·2.5 = 12.5 kN·m

उत्तर

Mx = 12.5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 22.67 kN, R2 = 159.3 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = −20, MC = −18.67, MD = −65.33, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

उत्तर

चिह्न E: ME = −240 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 128.8 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

b = 192 mm, h = 322 mm
A = BH − bh = 220·350 − 192·322 = 15176 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.519 × 10⁸ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(2.519 × 10⁸/15176) = 128.8 mm

उत्तर

r = 128.8 mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σनीचे = 39.2 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
वेब: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·190 + 2160·90)/5760 = 152.5 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 180·20³/12 + 3600·(190 − 152.5)² = 5.183 × 10⁶ mm⁴
वेब: 12·180³/12 + 2160·(90 − 152.5)² = 1.427 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.183 × 10⁶ + 1.427 × 10⁷ = 1.945 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 152.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·152.5/1.945 × 10⁷ = 39.2 MPa

उत्तर

σनीचे = 39.2 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τmax = 22.36 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCτmax​

मोर वृत्त की त्रिज्या

τmax = R = √(((−30 − −70)/2)² + −10²) = 22.36 MPa

उत्तर

τmax = 22.36 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σn = 28.26 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पतली दीवार का बेलन: परिधीय प्रतिबल σh = pr/t और अक्षीय प्रतिबल σa = pr/(2t); ये दीवार में मुख्य प्रतिबल हैं।

दीवार के प्रतिबल

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0.5·400/5 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σa) और y को परिधि के साथ (σh) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σn = 20·sin²50° + 40·cos²50° = 28.26 MPa

उत्तर

σn = 28.26 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δP = 3.995 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 6000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δP = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1500²·2500²/(3·1.76 × 10¹²·4000) = 3.995 mm

उत्तर

δP = 3.995 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: Ireq = 426.1 × 10⁶ mm⁴

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

विक्षेप सीमा

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13.89) = 4.261 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 426.1 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ireq = 426.1 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 313.9 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·2000 = 2000 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN

उत्तर

Pcr = 313.9 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 69.09 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

उत्तर

σcr = 69.09 MPa

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