पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 55 kNखंड 1: Ø40 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 1450 rpm पर 20 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 20 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 3 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mw = 6 kN/m, 0 से 5 m तकx = 3 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 80 kN पर 4 mw = 5 kN/m, 0 से 8 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

150 mm × 300 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 50 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 105 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 50 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 50 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = −50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δ_B ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 1 m पर बिंदु भार P वहन करता है। बीम का अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 23 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 6.207 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78.54 = 827.6 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 827.6/200000 = 0.004138 = 4138 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.004138·1500 mm = 6.207 mm

उत्तर

δ = 6.207 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 6.049 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 43.77 MPa

σ₂ = 273.5 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43.77·500/117000 = 0.187 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273.5·1500/70000 = 5.862 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.049 mm

उत्तर

δ = 6.049 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.771 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·79522) = 0.04837 rad

φ = 0.04837·180/π = 2.771°

उत्तर

φ = 2.771°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 5.26 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 131714·30/751193 = 5.26 MPa

उत्तर

τ_max = 5.26 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 18 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 3 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 15·3 − 6·3·1.5 = 18 kN·m

उत्तर

M_x = 18 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 200 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·4 + 5·8·4

R_B = 480/8 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

V = 0 कहाँ है?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 40 kN

V(4⁺) = 40 − 80 = −40 kN

भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 60·4 − 5·4²/2 = 200 kN·m

उत्तर

M_max = 200 kN·m

यह A से x = 4 m पर होता है।

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (45000·150 − 1963·105)/(45000 − 1963) = 152.1 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

150·300³/12 + 45000·−2.053² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·50⁴/64 + 1963·−47.05² = 4.654 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 165.9 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127.5 mm

वेब: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·127.5 + 2160·60)/6360 = 104.6 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·15³/12 + 4200·(127.5 − 104.6)² = 2.286 × 10⁶ mm⁴

वेब: 18·120³/12 + 2160·(60 − 104.6)² = 6.884 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.286 × 10⁶ + 6.884 × 10⁶ = 9.17 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 135 − 104.6 = 30.42 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·30.42/9.17 × 10⁶ = 165.9 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 165.9 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = 16.85 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 30/36.06 = 0.8321, sin 2θ_s = −(−20)/36.06 = 0.5547

2θ_s = atan2(20, 30) = 33.69°

अवयव पर कोण

θ_s = 16.85°

जाँच: θ_s − θ_p = 16.85 − 61.85 = −45°

उत्तर

θ_s = 16.85°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 45 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 75 + −5·0 + 30·−1 = 45 MPa

उत्तर

σ_θ = 45 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_B = 1.62 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 5000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.2315 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0003472 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.62 mm

उत्तर

δ_B = 1.62 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 2.976 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

अधिकतम की स्थिति

लंबे खंड में प्रवणता को शून्य रखने से स्थिति मिलती है।

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

अधिकतम विक्षेप

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2.976 mm

उत्तर

δ_max = 2.976 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 50.23 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1250² = 50230 N = 50.23 kN

उत्तर

P_cr = 50.23 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 35.25 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/10 = 140

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

उत्तर

σ_cr = 35.25 MPa

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