अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो काँसा के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 110 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) और पीतल का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 100 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 20 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 200 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
50 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 0.8 m पर B पर 200 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φC का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d = 50 mmTB = 200 N·mTC = 500 N·mAB = 0.8 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
40 kN @ 5 m10 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 3 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 5 mP = 30 kN पर 3 mw = 10 kN/m, 0 से 5 m तकx = 3 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 20 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।
bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 160 mmM = 20 kN·m
σऊपर = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa और σᵧ = −10 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 110 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?
σx = 90 MPaσy = −10 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa और τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0)। वॉन मीज़ेस तुल्य प्रतिबल σvM ज्ञात कीजिए।
σx = 80 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 3.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δP ज्ञात कीजिए।
P = 10 kNa = 3.5 mL = 8 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
P = 24 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 80 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 5 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 5 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 50.16 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1.608 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.4/7.974 × 10⁻⁶ = 50164 N = 50.16 kN
उत्तर
P = 50.16 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 14.15 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 100000·706.9/300 = 235619 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 20000·235619/471239 = 10000 N
प्रतिबल
σ2 = 10000/706.9 = 14.15 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 14.15 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 5.542 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·79522) = 0.09673 rad
φ = 0.09673·180/π = 5.542°
उत्तर
φ = 5.542°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 2.538 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 200 = 700 N·m
हर खंड का मरोड़
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 700000·800/(39000·613592) = 0.0234 rad
φBC = 500000·1000/(39000·613592) = 0.02089 rad
सिरे C का मरोड़
φC = 0.0234 + 0.02089 = 0.0443 rad → |φC| = 2.538°
उत्तर
φC = 2.538°
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: F (x = 5 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 13.33 kN, R2 = 36.67 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 13.33, MC = 26.67, MD = 30, ME = 33.33, MF = 36.67 kN·m, MG = 0
उत्तर
चिह्न F: MF = 36.67 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 66 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 30·3 + 10·5·2.5
RB = 215/5 = 43 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 43 = 37 kN
x = 3 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 37·3 − 10·3·1.5 = 66 kN·m
उत्तर
Mx = 66 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 19.3 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm
वेब: Aw = 18·160 = 2880 mm², yw = 160/2 = 80 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·167.5 + 2880·80)/7080 = 131.9 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 280·15³/12 + 4200·(167.5 − 131.9)² = 5.4 × 10⁶ mm⁴
वेब: 18·160³/12 + 2880·(80 − 131.9)² = 1.39 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.4 × 10⁶ + 1.39 × 10⁷ = 1.93 × 10⁷ mm⁴ = 19.3 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 19.3 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σऊपर = 43.15 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
वेब: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·170 + 2560·80)/7360 = 138.7 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 240·20³/12 + 4800·(170 − 138.7)² = 4.864 × 10⁶ mm⁴
वेब: 16·160³/12 + 2560·(80 − 138.7)² = 1.428 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.864 × 10⁶ + 1.428 × 10⁷ = 1.914 × 10⁷ mm⁴
बंकन प्रतिबल
ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।
y = 180 − 138.7 = 41.3 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·41.3/1.914 × 10⁷ = 43.15 MPa
उत्तर
σऊपर = 43.15 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τxy = 48.99 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
आवश्यक त्रिज्या
C = (90 + (−10))/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 110 − 40 = 70 MPa
अपरूपण प्रतिबल
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 50²) = 48.99 MPa
उत्तर
τxy = 48.99 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σvM = 100 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।
मुख्य प्रतिबल
C = 35 MPa, R = 54.08 MPa
σ1 = 89.08 MPa, σ2 = −19.08 MPa, σ3 = 0
वॉन मीज़ेस
σvM = √(89.08² − 89.08·(−19.08) + (−19.08)²) = 100 MPa
उत्तर
σvM = 100 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δP = 64.2 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 10000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
भार के नीचे विक्षेप
δP = Pa²b²/(3EIL) = 10000·3500²·4500²/(3·1.61 × 10¹²·8000) = 64.2 mm
उत्तर
δP = 64.2 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 2.335 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 24000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
हर भार अलग से
δP = PL³/(48EI) = 24000·3000³/(48·1.12 × 10¹³) = 1.205 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 1.13 mm
जोड़ें
δmax = 1.205 + 1.13 = 2.335 mm
उत्तर
δmax = 2.335 mm
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 635 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN
उत्तर
Pcr = 635 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 33.53 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 33.53 mm
उत्तर
d = 33.53 mm
जाँच: तनुता KL/r = 417.5 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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