अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत एल्युमिनियम छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 75 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 115 kNखंड 1: Ø35 mm, 1 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 0.5 m, स्टील (E = 200 GPa)
δ = mm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखले शाफ़्ट को 1450 rpm पर 50 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.5 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।
P = 50 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 5 mP1 = 55 kN पर 3 mP2 = 65 kN पर 3.5 m
Mmax = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 6 mP = 40 kN पर 1 mw = 8 kN/m, 0 से 6 m तकx = 1 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 40 MPa और संपीडन में 150 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा हॉगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए (उसका परिमाण दें)।
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 100 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa और σᵧ = 40 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 70 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?
σx = 10 MPaσy = 40 MPaσ1 = 70 MPa
τxy = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।
σx = 90 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 4.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।
P = 10 kNa = 4.5 mL = 6 mE = 200 GPa (स्टील)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई hreq ज्ञात कीजिए।
w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm
hreq = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 70 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 28.42 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 663.1/70000 = 0.009474 = 9474 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.009474·3000 mm = 28.42 mm
उत्तर
δ = 28.42 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 3.137 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 119.5 MPa
σ2 = 572 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 119.5·1000/70000 = 1.708 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 572·500/200000 = 1.43 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.137 mm
उत्तर
δ = 3.137 mm
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 2.155 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·613592) = 0.03761 rad
φ = 0.03761·180/π = 2.155°
उत्तर
φ = 2.155°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: do = 35.5 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m
स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास
T = 329.3 N·m = 329286 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·40·0.9375)) = 35.5 mm
di = 0.5·35.5 = 17.75 mm
उत्तर
do = 35.5 mm
ठोस शाफ़्ट को d = 34.74 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 124.5 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
ΣMA = 0: RB·5 = 55·3 + 65·3.5
RB = 392.5/5 = 78.5 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 78.5 = 41.5 kN
हर भार के नीचे आघूर्ण
हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।
भार P1: M = RA·3 = 41.5·3 = 124.5 kN·m
भार P2: M = RB·1.5 = 78.5·1.5 = 117.8 kN·m
सबसे बड़ा मान
Mmax = 124.5 kN·m (भार P1)
उत्तर
Mmax = 124.5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 53.33 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 40·1 + 8·6·3
RB = 184/6 = 30.67 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 30.67 = 57.33 kN
x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 57.33·1 − 8·1·0.5 = 53.33 kN·m
उत्तर
Mx = 53.33 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 15.75 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm
वेब: Aw = 14·160 = 2240 mm², yw = 160/2 = 80 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·167.5 + 2240·80)/6140 = 135.6 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 260·15³/12 + 3900·(167.5 − 135.6)² = 4.047 × 10⁶ mm⁴
वेब: 14·160³/12 + 2240·(80 − 135.6)² = 1.17 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.047 × 10⁶ + 1.17 × 10⁷ = 1.575 × 10⁷ mm⁴ = 15.75 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 15.75 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Mallow = 5.382 kN·m
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
केंद्रक
ȳ = (3600·115 + 800·50)/4400 = 103.2 mm
ऊपरी कोर: c = 130 − 103.2 = 26.82 mm
क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण
I = 120·30³/12 + 3600·11.82² + 8·100³/12 + 800·53.18² = 3.702 × 10⁶ mm⁴
हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण
हॉगिंग: ऊपरी भाग तनाव में, निचला भाग संपीडन में।
ऊपरी कोर: M = 40·3.702 × 10⁶/26.82 = 5.522 kN·m
निचली कोर: M = 150·3.702 × 10⁶/103.2 = 5.382 kN·m
निर्णायक मान
Mallow = min = 5.382 kN·m (निचली कोर)
उत्तर
Mallow = 5.382 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τxy = 42.43 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
आवश्यक त्रिज्या
C = (10 + 40)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 70 − 25 = 45 MPa
अपरूपण प्रतिबल
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 15²) = 42.43 MPa
उत्तर
τxy = 42.43 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 165 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 105 + −15·0 + −60·−1 = 165 MPa
उत्तर
σθ = 165 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δB = 14.24 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 10000 N, a = 4500 mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
मुक्त सिरे पर विक्षेप
भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।
δP = Pa³/(3EI) = 9.492 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003164 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 14.24 mm
उत्तर
δB = 14.24 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: hreq = 137.8 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
विक्षेप सीमा
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
आवश्यक जड़त्व आघूर्ण
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·11.11) = 2.727 × 10⁷ mm⁴
आवश्यक गहराई
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.727 × 10⁷/125)1/3 = 137.8 mm
उत्तर
hreq = 137.8 mm
व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 62.01 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·1000 = 500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62.01 kN
उत्तर
Pcr = 62.01 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 84.92 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84.92 mm
उत्तर
d = 84.92 mm
जाँच: तनुता KL/r = 282.6 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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