अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 100 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 250 MPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 100 GPa, अनुमेय प्रतिबल 70 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 750 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस स्टील शाफ़्ट 1500 rpm पर 75 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 60 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
25 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 5.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 10 mP = 55 kN पर 3 mw = 8 kN/m, 0 से 10 m तकx = 5.5 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 140 mm, बाहरी ऊँचाई H = 200 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 14 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
B = 140 mmH = 200 mmt = 14 mm
r = mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 40 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σनीचे ज्ञात कीजिए।
bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 160 mmM = 40 kN·m
σनीचे = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa और τₓᵧ = 40 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।
σx = 160 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
20 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 250 N·m के बलाघूर्ण के साथ 200 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ1 ज्ञात कीजिए।
d = 20 mmM = 200 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम अपने तृतीयांश बिंदुओं (हर आलंब से L/3) पर दो बराबर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मध्य विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
P = 3 kNL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 30 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 30 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.7958 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 100·1000/314.2 = 318.3 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 318.3/200000 = 0.001592 = 1592 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.001592·500 mm = 0.7958 mm
उत्तर
δ = 0.7958 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 527.8 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7.54 × 10⁸ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.00125, 0.0007) = 0.0007 (पीतल)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0007·7.54 × 10⁸ = 527788 N = 527.8 kN
उत्तर
Pmax = 527.8 kN
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 3.288 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·251327) = 0.05739 rad
φ = 0.05739·180/π = 3.288°
उत्तर
φ = 3.288°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 61.1 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m
सामर्थ्य के लिए व्यास
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·60)) = 34.35 mm
दृढ़ता के लिए व्यास
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·477465/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 61.1 mm
निर्णायक व्यास
दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।
d = max(34.35, 61.1) = 61.1 mm
उत्तर
d = 61.1 mm
यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: D (x = 6 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 48.5 kN, R2 = 48.5 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 85, MC = 146, MD = 183 kN·m, ME = 146, MF = 85, MG = 0
उत्तर
चिह्न D: MD = 183 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 173.3 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 55·3 + 8·10·5
RB = 565/10 = 56.5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 56.5 = 78.5 kN
x = 5.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 78.5·5.5 − 55·(5.5 − 3) − 8·5.5·2.75 = 173.3 kN·m
उत्तर
Mx = 173.3 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: r = 72.44 mm
क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।
शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण
b = 112 mm, h = 172 mm
A = BH − bh = 140·200 − 112·172 = 8736 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4.584 × 10⁷ mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या
r = √(I/A) = √(4.584 × 10⁷/8736) = 72.44 mm
उत्तर
r = 72.44 mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σनीचे = 351.3 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
वेब: Aw = 12·160 = 1920 mm², yw = 160/2 = 80 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·175 + 1920·80)/6720 = 147.9 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 160·30³/12 + 4800·(175 − 147.9)² = 3.896 × 10⁶ mm⁴
वेब: 12·160³/12 + 1920·(80 − 147.9)² = 1.294 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.896 × 10⁶ + 1.294 × 10⁷ = 1.683 × 10⁷ mm⁴
बंकन प्रतिबल
निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।
y = 147.9 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·147.9/1.683 × 10⁷ = 351.3 MPa
उत्तर
σनीचे = 351.3 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τabs = 87.6 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।
तलीय मुख्य प्रतिबल
C = 115 MPa, R = √(45² + 40²) = 60.21 MPa
σ1 = 175.2 MPa, σ2 = 54.79 MPa, σz = 0
तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(120.4, 175.2, 54.79)/2 = 87.6 MPa
उत्तर
τabs = 87.6 MPa
यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σ1 = 331.1 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
सतह पर प्रतिबल
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
मोर वृत्त
C = σ/2 = 127.3 MPa
R = √(127.3² + 159.2²) = 203.8 MPa
σ1 = C + R = 331.1 MPa
σ2 = C − R = −76.49 MPa
उत्तर
σ1 = 331.1 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 26.54 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
विक्षेप
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 26.54 mm
उत्तर
δmax = 26.54 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 11.45 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 3000 N, L = 4000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
L/3 पर एक भार
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 5.727 mm
दोनों भार जोड़ें
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 11.45 mm
उत्तर
δmax = 11.45 mm
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 12.56 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 1·2500 = 2500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN
उत्तर
Pcr = 12.56 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 57.67 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 57.67 mm
उत्तर
d = 57.67 mm
जाँच: तनुता KL/r = 173.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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