अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।
P = 90 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) और ताँबा का बना खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 400 mm, E = 120 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 20 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखला शाफ़्ट 300 rpm पर 30 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
P = 30 kWN = 300 rpmdo = 80 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
सरल आलंबित बीम A से x = 3 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M0 = 20 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक दाईं ओर बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।
L = 4 mM0 = 20 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 3 m
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 7.5 mw = 10 kN/m, 0 से 7.5 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
100 mm × 150 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 45 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 40 MPa और संपीडन में 100 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा सैगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए।
bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 220 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa और τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।
σx = −60 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = 30 MPaσy = −50 MPaτxy = −30 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।
w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (स्टील)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
P = 7 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 25 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 25 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: ε = 636.6 µε
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 90·1000/706.9 = 127.3 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 127.3/200000 = 0.0006366 = 636.6 µε
उत्तर
ε = 636.6 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 6.366 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 20000·589049/942478 = 12500 N
प्रतिबल
σ2 = 12500/1963 = 6.366 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 6.366 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 0.7205 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·79522) = 0.01258 rad
φ = 0.01258·180/π = 0.7205°
उत्तर
φ = 0.7205°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 10.13 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
τmax = T·(do/2)/J = 954930·40/3.77 × 10⁶ = 10.13 MPa
उत्तर
τmax = 10.13 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 5 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: RB·L − M0 = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: RA + RB = 0।
RB = M0/L = 20/4 = 5 kN (ऊपर की ओर)
RA = −RB = −5 kN (नीचे की ओर)
बलयुग्म के ठीक दाईं ओर काटें
बाएँ भाग में अब RA और बलयुग्म हैं।
Mx = RA·a + M0 = −5·3 + 20 = 5 kN·m
उत्तर
Mx = 5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 17.58 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·7.5 = 75 kN, x̄ = 3.75 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 10·7.5·3.75
RB = 281.3/5 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 56.25 = 18.75 kN
शून्य अपरूपण
RA − w·x0 = 0 → x0 = 18.75/10 = 1.875 m
अधिकतम सैगिंग आघूर्ण
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m
उत्तर
Mmax = 17.58 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 26.76 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (15000·75 − 1257·45)/(15000 − 1257) = 77.74 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
100·150³/12 + 15000·−2.743² = 28.24 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·40⁴/64 + 1257·−32.74² = 1.473 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 26.76 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 26.76 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Mallow = 12.71 kN·m
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
केंद्रक
ȳ = (6000·235 + 4400·110)/10400 = 182.1 mm
ऊपरी कोर: c = 250 − 182.1 = 67.88 mm
क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण
I = 200·30³/12 + 6000·52.88² + 20·220³/12 + 4400·72.12² = 5.786 × 10⁷ mm⁴
हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण
सैगिंग: ऊपरी भाग संपीडन में, निचला भाग तनाव में।
ऊपरी कोर: M = 100·5.786 × 10⁷/67.88 = 85.23 kN·m
निचली कोर: M = 40·5.786 × 10⁷/182.1 = 12.71 kN·m
निर्णायक मान
Mallow = min = 12.71 kN·m (निचली कोर)
उत्तर
Mallow = 12.71 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τabs = 50.81 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।
तलीय मुख्य प्रतिबल
C = −70 MPa, R = √(10² + 30²) = 31.62 MPa
σ1 = −38.38 MPa, σ2 = −101.6 MPa, σz = 0
तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63.25, 38.38, 101.6)/2 = 50.81 MPa
उत्तर
τabs = 50.81 MPa
यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τθ = −44.6 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
τθ = −40·0.9848 + −30·0.1736 = −44.6 MPa
उत्तर
τθ = −44.6 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δ = 17.76 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
विक्षेप
δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 17.76 mm
उत्तर
δ = 17.76 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 1.255 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 7000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
हर भार अलग से
δP = PL³/(48EI) = 7000·2000³/(48·1.76 × 10¹²) = 0.6629 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 0.5919 mm
जोड़ें
δmax = 0.6629 + 0.5919 = 1.255 mm
उत्तर
δmax = 1.255 mm
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 108.1 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108.1 kN
उत्तर
Pcr = 108.1 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 53.02 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 53.02 mm
उत्तर
d = 53.02 mm
जाँच: तनुता KL/r = 264.1 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials