पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 105 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 75 kNखंड 1: Ø40 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 0.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

3 m लंबा एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 500 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 2° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1450 rpm पर 30 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 80 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

45 kN @ 3 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 8 mw = 24 kN/m, 4 से 8 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 25 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −30 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 10 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = −30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 25° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (स्टील)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 17 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 45 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 7935 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 105·1000/113.1 = 928.4 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 928.4/117000 = 0.007935 = 7935 µε

उत्तर

ε = 7935 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.96 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 59.68 MPa

σ₂ = 238.7 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 59.68·500/117000 = 0.2551 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238.7·500/70000 = 1.705 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.96 mm

उत्तर

δ = 1.96 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 64.05 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·3000/(26000·0.03491) = 1.653 × 10⁶ mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 64.05 mm

उत्तर

d = 64.05 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 23.26 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·80)) = 23.26 mm

उत्तर

d = 23.26 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 3 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 25.83 kN, R₂ = 29.17 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 25.83, M_C = 51.67, M_D = 77.5 kN·m, M_E = 58.33, M_F = 29.17, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 77.5 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 108 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, x̄ = 6 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·4·6

R_B = 576/8 = 72 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 72 = 24 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल R_A से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 24/24 = 5 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 24·5 − 24·1²/2 = 108 kN·m

उत्तर

M_max = 108 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 7.369 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

वेब: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·115 + 2000·50)/5600 = 91.79 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 120·30³/12 + 3600·(115 − 91.79)² = 2.21 × 10⁶ mm⁴

वेब: 20·100³/12 + 2000·(50 − 91.79)² = 5.159 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.21 × 10⁶ + 5.159 × 10⁶ = 7.369 × 10⁶ mm⁴ = 7.369 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 7.369 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 174.3 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

वेब: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·125 + 1680·60)/3280 = 91.71 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 160·10³/12 + 1600·(125 − 91.71)² = 1.787 × 10⁶ mm⁴

वेब: 14·120³/12 + 1680·(60 − 91.71)² = 3.705 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.787 × 10⁶ + 3.705 × 10⁶ = 5.492 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 130 − 91.71 = 38.29 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·38.29/5.492 × 10⁶ = 174.3 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 174.3 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 70.71 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((−30 − 110)/2)² + 10²) = 70.71 MPa

उत्तर

τ_max = 70.71 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 18.25 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 40 + −10·0.6428 + −20·0.766 = 18.25 MPa

उत्तर

σ_θ = 18.25 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 2.197 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 2.197 mm

उत्तर

δ_max = 2.197 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 15.71 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·4000³/(48·3.99 × 10¹²) = 5.681 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 10.03 mm

जोड़ें

δ_max = 5.681 + 10.03 = 15.71 mm

उत्तर

δ_max = 15.71 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 37.85 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37.85 kN

उत्तर

P_cr = 37.85 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 43.9 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.9 mm

उत्तर

d = 43.9 mm

जाँच: तनुता KL/r = 182.2 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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